扩展欧几里德数学分析

扩展欧几里德数学分析

此文献给那些对于算法背后的数学知识真正热爱的人，一贯的只谈数学部分的内容，共勉

写这类文章的目的是为了使数学不在那么吓人，网上搜索资料时，有适合我这种对数学不太敏感的人能看懂的博客，所以内容在确保正确性的前提下尽量保证简单易懂

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
    	x = 1; y = 0; return a;
    }
    int ans = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}

本文不会过多涉及到代码，只对一些操作说明数学上的正确性

数学分析

引理：存在 x , y 使得 $gcd(a,b)=a\times x+b\times y$

证明：

1. 当 $b=0$ 时，
   $$a\times x+b\times y=gcd(a,b)=a$$
   易得
   $$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$$
2. 当 $b̸=0$ 时，
   $$a\times x_1+b\times y_1=gcd(a,b)$$
   $$b\times x_2+(a\%b)\times y_2=gcd(b,a\%b)$$
   由欧几里德算法(辗转相除法)易得
   $$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$
   由上式得出
   $$a\times x_1+b\times y_1=b\times x_2+(a\%b)\times y_2$$
   因
   $$a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$$
   则带入式子可得
   $$a\times x_1+b\times y_1=b\times x_2+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)\times y_2$$
   进一步整理
   $$a\times x_1+b\times y_1=a\times y_2+b\times (x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_2)$$
   可以解得
   $$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_2\\ y_1=x_2-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y_2\end{array}$$
   上式即为代码中int ans = exgcd(b, a%b, y, x);和y -= a / b * x;关键所在。
   所以在能得出方程解的情况下缩小了第二项的系数，即该试的第二项系数成功缩小
   $$a\times x_1+b\times y_1=b\times x_2+(a\%b)\times y_2$$
   递归进行下去，第二项系数会变成 0 ，此时就回到了第一种情况，然后递归地返回答案

应用

解不定方程

经过上面的分析，可以十分确定地知道扩展欧几里德可以解决
$$a\times x+b\times y=gcd(a,b)$$
略微推广一下，同样可以解决下面这样的式子
$$a\times x+b\times y=d_{gcd(a,b)|d}$$
注意，解得的 x 和 y 可能为负数，可以对求出来的 x 和 y 进行变形
$$\{\begin{array}{l}{x}_0=x+k\times b\\ y_0=y-k\times a\end{array}$$
变形的正确性如下，如果一对解 x 和 y 符合原式
$$a\times x+b\times y=d$$
则对 x 加上 k 倍的 b，对 y 减去 k 倍的 a ，代入

求乘法逆元

$$a\times x\equiv 1(modp)$$
那么我们就称 x 为 a 模 p 意义下的乘法逆元，上式可变形为
$$a\times x=1+p\times (-y)$$
即
$$a\times x+p\times y=1$$
因为原式可得， a 与 p 互质，即
$$gcd(a,p)=1$$
所以带入扩展欧几里德变为解不定方程问题

解一元线性同余方程

求该方程的解
$$a\times x\equiv c(modb)$$
方程可转换为
$$a\times x+b\times y=c$$
当前仅当下式成立时有解， k 为正整数
$$c=k\times gcd(a,b)$$
令 $r=\frac{c}{gcd(a,b)}$ ，使得第二个式子两端同时除以 $r$
$$\frac{a\times x}{d}+\frac{b\times y}{d}=gcd(a,b)$$
代入扩展欧几里德时相当于求的该式
$$a\times \frac{x}{d}+b\times \frac{y}{d}=gcd(a,b)$$
求得对应的 $x_0$ 和 $y_0$ 需要乘以 $r$

总结

在 解决求乘法逆元 和 解一元线性同余方程 问题时都转化为了 解不定方程 ，如果对结果的正符号有要求的，都可以通过 解不定方程 里讲到的变形来处理。