HDU 5834 树形DP

本文介绍了一种结合点权和边权的树形DP算法,通过树形DP与树旋转技巧解决从任意节点出发获取最大权和的问题,并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

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题意:

给一颗树既有点权又有边权,点权为到达对应点即可获得但只可以获得一次,边权为每走过该边一次就需要消耗一次边权,求从各点出发可以获得的最大权和为多少并全部输出。

思路:

定义dp[u][0]表示遍历子树之后不返回点u的最大权和

定义dp[u][1]表示遍历子树之后要返回点u的最大权和

由此可以推出状态转移方程:(dp[v][1]-2*w)表示遍历掉v子树并返回点u

dp[u][0] += max ( 0 , dp[v][1]-2*w ) 

dp[u][1] += max ( 0 , dp[v][1]-2*w )

对于dp[u][0]最后一步可以不返回点u,所以需要维护一个值val表示不返回u可以得到最大额外收益

val = dp[v][0]-w-max( 0 , dp[v][1]-2*w )

以上步骤过后我们可以通过树形DP得到以树中某一结点为根的答案

接下来我们需要通过树的旋转求解其余结点为根的答案

定义val[u][0]表示遍历子树时,所有val中的最大值

定义val[u][1]表示遍历子树时,所有val中的次大值

定义son[u]表示遍历子树时,所有val中的最大值对应的子树结点

关于旋转:可以看成父节点少了一个子节点和子节点多了一个子节点

定义tmp0表示父节点失去当前子节点后的dp[u][0]

定义tmp1表示父节点失去当前子节点后的dp[u][1]

最后做一步插入一个新的子节点,旋转操作就完成了

C++代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int maxm = 200010;

int n,tol,head[maxn];
struct edge
{
    int to,cost,next;
}es[maxm];

void addedge( int u , int v , int w )
{
    es[tol].to = v;
    es[tol].cost = w;
    es[tol].next = head[u];
    head[u]  = tol++;
}

int V[maxn],dp[maxn][2],son[maxn],val[maxn][2];

void dfs1( int u , int f )
{
    dp[u][0] = dp[u][1] = V[u];
    for ( int i=head[u] ; i!=-1 ; i=es[i].next )
    {
        int v = es[i].to,w = es[i].cost;
        if ( v!=f )
        {
            dfs1( v , u );
            int tmp = max( 0 , dp[v][1]-2*w );
            dp[u][0] += tmp;
            dp[u][1] += tmp;
            int kkk = dp[v][0]-w-tmp;
            if ( kkk>val[u][0] )
            {
                val[u][1] = val[u][0];
                val[u][0] = kkk;
                son[u] = v;
            }
            else if ( kkk<=val[u][0]&&kkk>val[u][1] )
            {
                val[u][1] = kkk;
            }
        }
    }
    dp[u][0] += val[u][0];
}

void dfs2( int u , int f )
{
    for( int i=head[u] ; i!=-1 ; i=es[i].next )
    {
        int v = es[i].to,w = es[i].cost;
        if ( v!=f )
        {
            int tmp0 = dp[u][0];
            if ( v==son[u] ) tmp0 = tmp0-(dp[v][0]-w)+val[u][1];
            else tmp0 = tmp0-max( 0 , dp[v][1]-2*w );
            int tmp1 = dp[u][1]-max( 0 , dp[v][1]-2*w );
            int tmp = max( 0 , tmp1-2*w );
            dp[v][0] += tmp;
            dp[v][1] += tmp;
            int kkk = tmp0-w-tmp;
            if ( kkk>val[v][0] )
            {
                dp[v][0] += kkk-val[v][0];
                val[v][1] = val[v][0];
                val[v][0] = kkk;
                son[v] = u;
            }
            else if ( kkk<=val[v][0]&&kkk>val[v][1] )
            {
                val[v][1] = kkk;
            }
            dfs2( v , u );
        }
    }
}

int main()
{
    int T; scanf ( "%d" , &T );
    for( int cas=1 ; cas<=T ; cas++ )
    {
        tol = 0;
        memset( head , -1 , sizeof(head) );
        memset( son  , -1 , sizeof(son ) );
        memset( val  ,  0 , sizeof(val ) );
        scanf ( "%d" , &n );
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            scanf ( "%d" , &V[i] );
        for ( int i=2 ; i<=n ; i++ )
        {
            int u,v,w; scanf( "%d%d%d" , &u , &v , &w );
            addedge( u , v , w );
            addedge( v , u , w );
        }
        dfs1( 1 , 0 );
        dfs2( 1 , 0 );
        printf( "Case #%d:\n" , cas );
        for ( int i=1 ; i<=n ; i++ )
            printf ( "%d\n" , dp[i][0] );
    }
    return 0;
}

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