冯乐乐之二 shader的数学

冯乐乐目录

第2章渲染流水线介绍

第三章 Unity shader基础

基础shaderLab语言，shader结构，属性properties，主角SubShader，备胎Fallback。

shader三大类型：

Unity宠儿表面着色器，聪明boy顶点片元着色器，弃子固定函数着色器。

 

第四章 数学

笛卡尔坐标系=直角坐标系

点和矢量，点乘叉乘。

矩阵

矩阵乘法：r*n矩阵A 乘以n*c矩阵B，得到r*c矩阵AB，

满足结合律不满足交换律AB != BA, (AB)C = A(BC)

特殊矩阵：

方块矩阵

方阵（行列相等）

单位矩阵I

（行列相等且对角线为1）MI = IM = M

转置矩阵

r*c矩阵M  c*r矩阵Mt，Mtt = M,(AB)t = BtAt

对称矩阵

对称矩阵的转置等于本身 M = Mt

逆矩阵：最复杂的矩阵操作

M-1，MM-1 = M-1M = I

只有方阵有逆矩阵，不是所有方阵都有逆矩阵，如果一个矩阵的行列式不为0，则此矩阵是可逆的。

性质1：M-1-1 = M；性质2：I-1 = I；性质3：Mt-1 = M-1t；性质4：AB-1 = B-1A-1

逆矩阵的几何性质，逆矩阵可以表示逆变换。

正交矩阵

如果一个方阵M和他的转置矩阵Mt的乘积为单位矩阵的话，则说此方阵是正交的。

MMt = MtM = I

看到上面很容易联想到MM-1 = M-1M = I

所以正交矩阵最大特点M-1 = Mt，性质：M是正交矩阵，则Mt也是正交矩阵。

正交的应用：由于求解逆矩阵的运算量巨大，使用正交矩阵的转置来代替逆矩阵可以大幅减少运算量。

如何快速判断正交矩阵，而不使用MtM = I判断。

结论：就是3*3矩阵的三行或者三列是一组，标准正交向量基c1c2c3，即三个相互垂直的向量且长度为1。

[c1c2c3]or[c1c2c3]t，单位矩阵一定是正交矩阵。

向量转换成行矩阵还是列矩阵？

 

矩阵的几何意义

向量的线性变换满足2个条件：1.f(x) + f(y) = f(x+y) 2.kf(x) = f(kx)

缩放f(v) = 2v和旋转(难以函数表示)是线性变换，可以用3*3矩阵表示所有的线性变换。

但是非常遗憾，最常见的平移变换居然不是线性变换， 如f(v) = v + (1,1,1);

于是发明仿射变换（affine transform），4*4矩阵表示，相当于合并一个线性变换和一个平移变换。

为了乘4*4矩阵，向量也要拓展到四维，此四维称齐次坐标空间（homogeneous space）。

 

齐次坐标

向量升四维，添加w分量，如果是坐标向量w = 1,如果是方向向量则w = 0。

这样做的目的是，方向向量的平移效果会被忽略（向量平移是无意义的）。

4*4矩阵表示为

[M3*3, t3*1]

[01*3, 1     ]

M3*3为旋转缩放变换，t3*1为平移变换，01*3为零向量，1为标量。

平移矩阵

平移矩阵*坐标向量的列向量。方向向量不能平移，相乘是没有效果的。

显然上述逆矩阵为

因为M-1 != Mt，所以平移矩阵不是正交矩阵。

缩放矩阵

缩放坐标向量和方向向量都是ok的

逆矩阵

不是正交矩阵

旋转矩阵

绕x,y,z旋转的矩阵如下

全部是正交矩阵，多个旋转矩阵串联也是正交矩阵

复合变换

将缩放，旋转，平移三合一，注意顺序不能变化，这是本书约定。

 

五大坐标空间

如何实现变换（重点内容暂时跳过）

模型空间 modelSpace= 对象空间object = 局部空间local，建模软件中确定的。

世界空间，worldSPace代理绝对位置，Scene中transform的position。Unity决定。

顶点坐标从模型空间，变换到世界空间，这一步叫做模型变换ModelTransform。

观察空间 viewSpace= 摄像机空间CameraSpace，unity中摄像机的模型空间，e.g.正前方是-z轴，也是唯一一个右手坐标系空间。

观察空间是三维的，而屏幕空间是二维的。

世界空间变换到观察空间称观察变换ViewTransform，观察空间转屏幕空间称Projection。

裁剪空间clipSpace = 齐次裁剪空间（齐次就是四维），观察空间转屏幕空间称Projection，观察空间转屏幕空间称投影矩阵。

此空间是有边界的，由远近裁剪平面决定，投影方式：正交投影，透视投影。

投影矩阵并不是真正的投影工作，而是为裁剪判断做准备，齐次坐标左乘裁剪矩阵之后，得到裁剪空间坐标（x,y,z,w)，其中的w分量不再是0或1，而是用于裁剪判断的值，如果x,y,z的绝对值小于w的绝对值，则该点不会被裁剪。

屏幕空间

唯一一个二维空间，现在将裁剪空间下的顶点坐标投影到屏幕空间。

投影矩阵变换之后，可以进行裁剪，完成裁剪之后可以进行正在的投影。上文中裁剪空间也叫投影但是只是投影之前的准备。

使用标准齐次除法（homogeneous division）也称透视除法（perspective division），即w分离除以x,y,z分量，除法之后得到的三维坐标称归一化设备坐标（Normalized Device Coordinates，NDC）。是一个范围[-1,1]的立方体空间。

 

特殊的变换：法线变换

问题，在变换顶点的同时，需要变换顶点法线N，但是使用相同的矩阵变化，并不能保证法线的垂直。

与法线对应的切矢量T由顶点位置插值得到，所以使用同样的矩阵变化也不影响与面在同一平面的特性。

我们可以使用切线来约束法线，因为切线和法线总是垂直。

结论：经过推导，如果顶点的变换矩阵为M，则使用原矩阵的逆转置矩阵可以完成上述目标(M-1)t，

值得注意，当原矩阵为正交矩阵时，法线变换矩阵和顶点变换矩阵相同。

 

Unity内置变量

Unity内置变换矩阵，相机与屏幕参数

英文页：https://docs.unity3d.com/Manual/SL-UnityShaderVariables.html

中文页：https://docs.unity.cn/cn/current/Manual/SL-UnityShaderVariables.html

隔壁大哥对所有可能用到的函数和变量的总结：

https://blog.youkuaiyun.com/y90o08u28/article/details/88027031

 

以上