网络流24题——试题库问题

【问题分析】

二分图多重匹配问题，用最大流解决。

【建模方法】

建立二分图，每个题为X集合中的顶点，每个类别为Y集合中的顶点，增设附加源S和汇T。

1、从S向每个Xi连接一条容量为1的有向边。
2、从每个Yi向T连接一条容量为该类别所需数量的有向边。
3、如果一个题i属于一个类别j，连接一条从Xj到Yi容量为1的有向边。

求网络最大流，如果最大流量等于所有类别所需之和，则存在解，否则无解。对于每个类别，从X集合对应点出发的所有满流边，指向的B集合中的顶点就是该类别的所选的题（一个可行解）。

【建模分析】

二分图多重匹配问题。X，Y集合之间的边容量全部是1，保证两个点只能匹配一次，源汇的连边限制了每个点匹配的个数。求出网络最大流，如果流量等于Y集合所有点与T边容量之和，那么则说明Y集合每个点都有完备的多重匹配。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 3005;
const int MAXM = 3005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge1
{
	int from,to,cap,flow;
};
struct Dinic
{
	int n,m,s,t;
	vector<Edge1> edges;
	vector<int> G[MAXN];
	bool vis[MAXN];
	int d[MAXN];
	int cur[MAXN];
	void init(int n)
	{
		this -> n = n;
		for(int i = 0; i <= n + 1; i++){
			G[i].clear();
		}
		edges.clear();
	}
	void AddEdge(int from,int to,int cap)
	{
		edges.push_back((Edge1){from,to,cap,0});
		edges.push_back((Edge1){to,from,0,0});
		m = edges.size();
		G[from].push_back(m - 2);
		G[to].push_back(m - 1);
	}
	bool BFS()
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<int> Q;
		Q.push(s);
		d[s] = 0;
		vis[s] = 1;
		while(!Q.empty()) {
			int x = Q.front();
			Q.pop();
			for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {
				Edge1& e = edges[G[x][i]];
				if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {
					vis[e.to] = 1;
					d[e.to] = d[x] + 1;
					Q.push(e.to);
				}
			}
		}
		return vis[t];
	}
	int DFS(int x,int a)
	{
		if(x == t || a == 0) return a;
		int flow = 0,f;
		for(int& i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {
			Edge1& e = edges[G[x][i]];
			if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to,min(a,e.cap - e.flow))) > 0) {
				e.flow += f;
				edges[G[x][i] ^ 1].flow -= f;
				flow += f;
				a -= f;
				if(a == 0) break;
			}
		}
		return flow;
	}
	int Maxflow(int s,int t) {
		this -> s = s,this -> t = t;
		int flow = 0;
		while(BFS()) {
			memset(cur,0,sizeof(cur));
			flow += DFS(s,INF);
		}
		return flow;
	}
}din;
vector<int> ans[MAXN];
int main(void)
{
    int k,n;
    scanf("%d %d",&k,&n);
    din.init(n + k + 2);
    int S = 0,T = n + k + 1;
    int temp,num;
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i <= k; i++) {
        scanf("%d",&temp);
        sum += temp;
        din.AddEdge(i + n,T,temp);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d",&num);
        for(int j = 1; j <= num; j++) {
            scanf("%d",&temp);
            din.AddEdge(i,temp + n,1);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        din.AddEdge(S,i,1);
    }
    if(sum == din.Maxflow(S,T)) {
        for(int i = 0; i < din.edges.size(); i++) {
            Edge1 e = din.edges[i];
            if(e.from != S && e.to != T && e.flow == 1) {
                ans[e.to - n].push_back(e.from);
            }
        }
        for(int i = 1; i <= k; i++) {
            printf("%d:",i);
            for(int j = 0; j < ans[i].size(); j++) {
                printf(" %d",ans[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    else printf("No Solution!\n");
    return 0;
}