【NOIP提高组】天使的分裂

最新推荐文章于 2017-11-06 22:11:11 发布

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#NOIP #矩阵乘法 #快速幂 #DP

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快速幂

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本文介绍了一种使用矩阵乘法快速幂解决特定数列求和问题的方法。通过构造五元数组来实现状态转移，最终高效地计算出目标值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

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Data Constraint

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Solution

看到数据范围显然就是矩阵乘法快速幂了，那么问题的关键就在于推出转移矩阵。设 $G_i$ 表示 $\sum F_i$ ，利用 $F_{i-1}$ 与 $F_{i-2}$ 组合成 $F_i$ ，容易推出 $F_i=F_{i-1}+F_{i-2}+f_{i-1}+f_{i-2}$ 。刚开始设出了一个四元数组 $[f_0,f_1,G_0,G_1]$ ，但是推不出来，发现老是缺了一点什么，之前处理电脑问题浪费了不少时间，因为当时时间已经剩下不多，所以有点急躁，不断地把所有元素都列出来，最后发现自己too young了，G不能单独推导出来，一定要连带上F，于是就有了最终成型的五元数组 $[F_{i-1},F_i,f_{i-1},f_i,G_i]--->[F_{i},F_{i+1},f_{i},f_{i+1},G_{i+1}]$ ，快速幂解决。

Code

const mo=998244353;
var
    z:array[0..100,1..5,1..5] of int64;
    c:array[0..100] of int64;
    a,t:array[1..5] of int64;
    sum,i,j,k:longint;
    ans,n:int64;
begin
    sum:=1;
    z[1,1,1]:=0;z[1,1,2]:=1;z[1,1,3]:=0;z[1,1,4]:=0;z[1,1,5]:=1;
    z[1,2,1]:=1;z[1,2,2]:=1;z[1,2,3]:=0;z[1,2,4]:=0;z[1,2,5]:=1;
    z[1,3,1]:=0;z[1,3,2]:=1;z[1,3,3]:=0;z[1,3,4]:=1;z[1,3,5]:=1;
    z[1,4,1]:=0;z[1,4,2]:=1;z[1,4,3]:=1;z[1,4,4]:=1;z[1,4,5]:=1;
    z[1,5,1]:=0;z[1,5,2]:=0;z[1,5,3]:=0;z[1,5,4]:=0;z[1,5,5]:=1;
    readln(n);
    if n=0 then
    begin
        writeln(1);
        exit;
    end;
    if n=1 then
    begin
        writeln(3);
        exit;
    end;
    dec(n);
    a[1]:=1;a[2]:=2;a[3]:=1;a[4]:=1;a[5]:=3;c[1]:=1;
    while c[sum]*2<=n do
    begin
        inc(sum);
        c[sum]:=c[sum-1]*2;
        for i:=1 to 5 do
            for j:=1 to 5 do
                for k:=1 to 5 do z[sum,i,j]:=(z[sum,i,j]+(z[sum-1,i,k]*z[sum-1,k,j])mod mo)mod mo;
    end;
    while n>0 do
    begin
        while c[sum]>n do dec(sum);
        n:=n-c[sum];
        fillchar(t,sizeof(t),0);
        for j:=1 to 5 do
            for k:=1 to 5 do t[j]:=(t[j]+(a[k]*z[sum,k,j])mod mo)mod mo;
        a:=t;
    end;
    writeln(a[5]);
end.