莫比乌斯反演

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原创最新推荐文章于 2026-10-22 18:25:45 发布 827 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

莫比乌斯反演入门讲解莫比乌斯反演实际上是一两个公式定理的运用，自认为想要掌握它的话，其中的证明还是有必要了解的。看过网上一些博客，感觉都只证明了一半，没看到有人将这个定理完全证明出来。然而我最近在正好在学习初等数论，发现完全证明这个定理实际上并不需要很多知识，特此填坑。另外加上一些应用以构成完整的讲解。实际上，这个定理的证明用到了一点数论函数相关知识。前置技能在此 https://blog.youkuaiyun.com/t... 阅读详情

莫比乌斯反演

当满足以下求和函数：

可以得到：

F(1)=f(1) F(2)=f(1)+f(2)

F(3)=f(1)+ f(3) F(4)=f(1)+f(2)+f(4) F(5)=f(1)+f(5)

推出：

f(1)=F(1) f(2)=F(2)-f(1)=F(2)-F(1)

f(3) =F(3)-F(1) f(4)=F(4) -f(2)- f(1) =F(4)-F(2)

f(5) =F(5)-F(1)

可以反推出求f（x）的式子：

在上面的公式中有一个函数，它的定义如下：

（1）若，那么

（2）若，均为互异素数，那么

（3）其它情况下

而函数可以通过筛选求出：

void Moblus()
{
    tot = 0;
    memset(is_prime,0,sizeof(is_prime));
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= maxn; i++)
    {
        if(!is_prime[i])
        {
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }

        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            if(prime[j]*i>maxn)
                break;
            is_prime[i*prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j])             //prime[j]不重复
            {
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}

然后是关于莫比乌斯求GCD的原理，当时看了很久感觉并无法满足上面公式，后来才发现还有公式2(╯▽╰)

即F[n]等于n的倍数d,f[d]的和，然后可以反演出后面公式

对于GCD（x，y） = k

设f[d]： GCD(x,y) = k ，即最大公约数为k的（x，y）的对数

F[n]： n|GCD（x，y），即最大公约数是n的倍数的（x，y）的对数

所以：F{1] = f[1] + .... + f[n]

F[2] = f[2] + f[4] + ....f[2*i]...

可以发现完全满足上面的公式

而且对于F[n]，可以求出F[n] = （a/n）*（b/n）

因此我们可以再利用反演求f[d]

题：hdu1695，spoj vlattice

关于优化：

在计算中，我们是枚举1->n计算，每次ans+= mu[i] * (a/i) * (a/i)

我们可以发现，由于是除法计算，所以经常出现a/i = a/(i+1) = .... = a/(i+k) 例如：8/3 = 8/4

所以每次循环我们可以计算出，相等值的长度，然后在用sum保存mu的和，一次循环便能计算出一段数的值

hzoj 2301

ll gett(int n,int m)        //分块优化  
{  
    ll ret = 0;  
    int i,last;  
    if(n > m)  
        swap(n,m);  
    for(i = 1,last = 0;i<=n;i=last+1)  
    {  
         last = Min(n/(n/i),m/(m/i));      //求为n/i时的最远位置  
         ret += (ll)(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);  
    }  
   return ret;  
}

参考文章：

莫比乌斯反演 popoqqq

POI XIV Stage.1 Queries Zap

/************************************************分界线*******************************************************/

①：求GCD /*个人理解

对于求GCD，我们可以看成先求出所有选择的情况，然后减去GCD不为1（即把数分成各个因子的集合）

例：num[2]能被2约去的数，然后减去这些数，我们会发现减去了2,3后，6会被多减，所有需要加上，于是满足了

莫比乌斯函数.大致思路：

C(n,k) － C(gcd只含奇数个质数的个数,k) ＋ C(gcd只含偶数个质数的个数,k)，前面的符号就是莫比乌斯函数

一种是求1≤x≤n，1≤y≤m中多少对(x,y)满足gcd(x,y) = 1, /*比如上面的hdu1695

推出公式：for(i->min(n,m)) ans += mu[i]*(n/i)*(m/i),

完全可以看成在i = 1时求出所有情况，然后2的倍数（即可能gcd = 2的情况），减去3的倍数...加上6的倍数......。