Educational Codeforces Round 170 (Rated for Div. 2)

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A. Two Screens

思路：显然能复制一定要复制，这样的操作次数一定是小于等于一直插入字符的。那么我们就要求一下两个字符串的最长公共前缀，如果长度大于零一定要用，否则就不用。

时间复杂度：$O(n)$

B. Binomial Coefficients, Kind Of

思路：打表找规律。

时间复杂度：$O(n)$

C. New Game

思路：容易发现我们选牌只能选择连续的一段区间，同时右端点一定是单调的，所以我们使用双指针算法就好了。不过在这之前我们需要对数组进行排序。

时间复杂度：$O(nlogn)$

D. Attribute Checks

思路：这种类型的题目可以优先考虑dp。首先我们考虑怎么把状态给表示出来，一个朴素的想法是对于$f[i][j][k]$表示前i个位置，智力为j，体力为k的最大贡献。由数据范围我们知道是肯定开不了这么大的，那么这里有一个经典的trick就是，可以把智力和体力表示在一维上，即 记智力和体力的总和为s，体力为x，智力为y，那么 y=s-x。那么当前对应的状态就是$f[i][j]$表示前i个位置，智力为j，体力为s-j的最大贡献。接下来考虑转移。当$r>0$的时候，$f[i][j]=f[i-1][j]+1(forallj\ge r)$；当$r<0$的时候，$f[i][j]=f[i-1][j]+1(forallj\le s+r)$；当$r==0$的时候，$f[i][j]=\max (f[i-1][j],f[i-1][j-1])$。但是这样的数组我们仍然开不出来，但由于第一维只和第i-1维有关系，因此我们可以用滚动数组来优化一下空间。再来考虑时间上，对于区间加的操作我们可以考虑用线段树、树状数组等数据结构来维护，但通过数据范围我们观察到可以在$O(m^2)$的数据范围内转移，所以只要在遇到$O(m)$个点时$O(m)$地转移就好了。其他位置上需要$O(1)$地操作，那么我们可以考虑差分。记得最后算答案地时候还要重新转移一下。

时间复杂度：$O(n+m^2)$

E. Card Game

思路：考虑使用类似于括号匹配的想法类比每一种花色 Alice 和 Bob 应该怎么拿牌合法。假定Alice拿到的一张大牌能够和Bob拿到的一张同等花色的小牌抵消，那么我们能够得到以下的结论：

• Alice可以拿多余的主牌（花色为1的牌）。
• Bob可以拿多余的副牌（花色不为1的牌）。
• Alice多拿的主牌数量必须和Bob多拿的副牌数量相等。

那么其实最终的答案就是Alice多拿主牌的方案数乘以Bob多拿副牌的方案数累加起来，接下来考虑怎么计算方案数。

对于Alice可以拿多余的主牌的方案数，不妨设$f_{i,j}$为第i大的牌，多拿j张牌的方案数。那么$$f[i][j]=\{\begin{array}{ll}f[i-1][1]& j=0\\ f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]& j>0\end{array}$$

对于Bob可以拿多余的副牌的方案总数，不妨设$g_{i,j}$为第i种花色，多拿牌数的总数为j的方案数，那么

$g[i][j]={\sum }_{k=0}^{j}g[i-1][j-k]\times f[m][k]$

当然我们只要枚举到m就好了。

时间复杂度：$O(n{m}^2)$