状态压缩 - 动态规划 - LightOJ - 1011 - Marriage Ceremonies

题目链接：[点这儿].

题意：

在一个n X n的矩阵中，选择n个数，这n个数所在的行列各不相同，求出这n个数的最大和.$n<=16$.

解析：

看到这个题第一想法就是用KM算法做，能用KM算法做，那么就一定能用最小费用最大流做，这里不讨论这两种做法，讨论下动态规划的做法.

首先，这是个状态压缩动态规划的裸题，这里如果用搜索去做，会超时，而且会爆内存空间，因此，得把状态压缩到一个数中，正好，每一列选或不选对应0和1，故可以把这个状态压缩到16位的二进制数中；

设dp[i][j]表示1~i行状态为j的最大和，这个时候只有j中二进制中1的个数等于i的j状态是有效的，因为到第i行，只能选择i列，于是我们对合法的状态进行枚举，同时也枚举j状态中那么二进制位为0的列，那么很明显，状态转移方程为：

$$dp_{i+1,j | (1 << ibit) } = max\{dp_{i, j} + arr_{i,n - ibit - 1}\}\quad (j\&(1<<ibit)==0).$$
这种写法是由当前状态推下一种状态，而我们写得比较多的是前一种状态推当前状态.两种都要掌握.

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int T, K = 1;
    for (scanf("%d", &T); T--; K++) {
        int n, x;
        scanf("%d", &n);
        vector<vector<int> > arr(n + 1, vector<int>(n)), dp(n + 1, vector<int>(1 << n, 0));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                arr[i][j] = (scanf("%d", &x), x);

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < (1 << n); j++) {
                int cntOfOne = 0;
                for (int ibit = 0; ibit < n; cntOfOne += (j & (1 << ibit)) ? 1 : 0, ibit++);
                if (cntOfOne != i - 1)
                    continue;
                for (int ibit = 0; ibit < n; ibit++)
                    if (!(j & (1 << ibit)))
                        dp[i][j | (1 << ibit)] = max(dp[i][j | (1 << ibit)], dp[i - 1][j] + arr[i][n - ibit - 1]);
            }
        }

        printf("Case %d: %d\n", K, dp[n][(1 << n) - 1]);
    }
    return 0;
}