完美解法的两道题

近些天看到了两道题，也做了，不断修改和完善，觉得自己这两道题的解法是最优的，不知你们同意不，如果还有更好的解法，请在评论区留言.

第一题：N点共圆

题目：

给你N个整数点，判断这N个是否可能在同一个圆周上.

输入：

多组输入，第一行输入一个整数N(1<=N<=9),第二行输入2N个整数，表示N个(x,y)的点，-20 <=x,y<=20.而且给出点是逆时针给出，任意三点不共线。

输出：

如果N个点可能在同一个圆上，输出”Yes”，否则输出”No”.

样例输入：

$3$
$0 0 0 3 4 0$
$2$
$10 10 10 1$

样例输出：

$Yes$
$Yes$

解析：

直接解法：浮点数模拟，先利用三点求出圆心坐标和半径，再判断其余的点时候在圆上，可以通过这个题，但是误差比较大，浮点数模拟必然会出现误差.大家普遍都是这个解法。
　
完美解法：由于给出的点是整点，且逆时针给出，那么我们就要想办法规避浮点数的误差，先选出三个点，因为三点确定一个圆，遍历其余的点，利用圆内四边形的判定定理：托勒密定理，判断这四个点组成的四边形是否为圆内四边形，如果其余的点与先前选出的三个点都可以组成圆内四边形，那么这N个点就在同一个圆上；判定条件：

$$\overline{AB}\times \overline{CD}+\overline{AD}\times\overline{BC}==\overline{AC}\times \overline{BD}$$
两边同时平方得到： $$\overline{AB}^2\times \overline{CD}^2+\overline{AD}^2\times\overline{BC}^2+2\times\overline{AB}\times \overline{CD}\times\overline{AD}\times\overline{BC}==\overline{AC}^2\times \overline{BD}^2$$
移项再同时平方得到： $$(\overline{AB}^2\times \overline{CD}^2+\overline{AD}^2\times\overline{BC}^2-\overline{AC}^2\times \overline{BD}^2)^2==4\times\overline{AB}^2\times \overline{CD}^2\times\overline{AD}^2\times\overline{BC}^2$$
这样子，开根号的浮点运算也避免了，用这个等式可以完美判断.

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

struct Point {
    LL x, y;
};

LL pow2(LL x)
{
    return x * x;
}

LL dis2(Point a, Point b)
{
    return pow2(a.x - b.x) + pow2(a.y - b.y);
}

int main()
{
    int n;
    while (cin >> n) {
        vector<Point> points(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            cin >> points[i].x >> points[i].y;
        if (n < 4) {
            cout << "Yes" << endl;
            continue;
        }
        bool f = true;
        for (int i = 3; i < n; i++) {
            if (pow2(dis2(points[0], points[1]) * dis2(points[2], points[i]) +
                     dis2(points[1], points[2]) * dis2(points[0], points[i]) -
                     dis2(points[1], points[i]) * dis2(points[0], points[2])) !=
                    4 * dis2(points[0], points[1]) * dis2(points[2], points[i]) *
                    dis2(points[1], points[2]) * dis2(points[0], points[i])) {
                f = false;
                break;
            }
        }
        cout << (f ? "Yes" : "No") << endl;
    }
}

第二题：股神

题目：

这是赛码网上的一个题，有人问我，我就做了下，题目链接：[点这里].

解析：

普通解法我就不赘述了，很好搞，模拟就是了.

完美解法：首先我们观察下哪一天会下降：

$$\matrix{1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\cdots&b_k&\cdots\\-&\uparrow&\downarrow&\uparrow&\uparrow&\downarrow&\uparrow&\uparrow&\uparrow&\downarrow&\cdots&\downarrow&\cdots}$$
我们挑出下降的日子： $3\ 6\ 10\ \cdots \ b_k\ \cdots$, $b_1=3$,那么这些下降的日子是否满足通项公式呢，满足的： $b_k=b_{k-1}+k+1$,通过迭代可以求出： $$b_k=\frac{(k+ 4) * (k- 1) }{2}+3$$
给出某一天 $n$，我们可以求出最靠近$n$的下降日子，这里可以通过遍历，也可以通过二分来求，遍历求法复杂度为 $O(\sqrt{n})$，二分复杂度为 $O(\log_{2}{n})$，待会分别给出代码；

求出了$k$，那么$b_k$天的数字我们就知道了：

$$a_{b_k}=1+(1+2+\cdots+k)-k=1 + \frac{(k + 1) * k }{2 }- k$$
那么，在剩下的日子里，只会上涨，不会下降，因此： $$ans=a_{b_k}+n-b_k$$
因此，完美解法的时间复杂度为 $O(\log_{2}{n})$.

代码：

$O(\log_{2}{n})$:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    LL n;
    while (cin >> n) {
        LL x = 0, y = n;
        while (x < y) {
            LL mid = (x + y + 1) / 2;
            (mid + 4) * (mid - 1) / 2 + 3 <= n ? x = mid : y = mid - 1;
        }
        LL ans = 1 + (x + 1) * x / 2 - x;
        LL res = n - (x + 3) * x / 2 - 1;
        ans += res;
        cout << ans << endl;
    }
}

$O(\sqrt{n})$:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    LL n;
    while (cin >> n) {
        LL x = 0;
        for (; (x + 4) * (x - 1) / 2 + 3 <= n; x++);
        --x;
        LL ans = 1 + (x + 1) * x / 2 - x;
        LL res = n - (x + 3) * x / 2 - 1;
        ans += res;
        cout << ans << endl;
    }
}