Codeforces 559B Equivalent Strings 等价串

本文讨论了一个通过递归分治和字典序最小表示法解决字符串等价判断的问题。详细解释了等价定义、算法实现,并对比了分治复杂度与构造复杂度,最后提供了优化方法。通过实例展示了如何高效解决此类问题。

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题意:给定两个等长串a,b,判断是否等价。等价的含义为:若长度为奇数,则必须是相同串。若长度是偶数,则将两串都均分成长度为原串一半的两个子串al,ar和bl,br,其中al和bl等价且ar和br等价,或者al和br等价且ar和bl等价。








实际上很水。直接按照题意模拟写个递归分治就可以求。比赛的时候总觉得这样暴力写会TLE,因为算了下大概是4^(log2(n))的复杂度,也就是n^2,所以比赛的时候就想了下,将两个串都按照题意转化为字典序最小串(循环节的最小表示法)然后比较a和b的两个最小表示法是否是相同的即可。

后来想了半天为什么分治到不了4^(log2(n))的复杂度呢?原因是这样的:我们就按照这个复杂度去构造串。首先,如果要让al和ar比较,bl和br比较,且al和br也比较,ar和bl也比较的话,则必须满足al和bl等价,ar和br不等价,且al和br等价,这样才能保证让ar和bl去比较。然而我们在比较的al和bl的时候,再分治,设al分成了all,alr,bl分成了bll,blr,要想让它再比较4次,则有all和bll等价,alr和blr不等价,alr和bll等价,但因为这个情况下al和bl是等价的,所以必须有alr和bll等价。我们简单的写成

all = bll

alr != blr

alr = bll

all = blr

然而这4个等式可以推出all = bll = alr = blr,即4个子串任意都能等价,与第二个等式矛盾。这说明无法构造一种串使得复杂度达到4^(log2(n))。实际上,在很多时候递归只进行了三次甚至两次一次就返回了。因此分治的效率也是很高的。当然,最小表示法的复杂度是O(n*log(n))的,那是一定可以过。实际上还是分治的思想,只不过处理上有点不同罢了。







#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

const int MAX = 2*1e5 + 5;
char a[MAX], b[MAX];

int cmp(char *x, int l1, int l2, int len)
{
    for(int i = 0; i < len; i++)
    {
        if(x[l1 + i] < x[l2 + i])
            return -1;
        if(x[l1 + i] > x[l2 + i])
            return 1;
    }
    return 0;
}

void translation(char *x, int l, int r) //将原串变为字典序最小的串
{
    if((r - l + 1)&1)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1, len = (r - l + 1) >> 1;
    translation(x, l, mid);
    translation(x, mid + 1, r);
    if(cmp(x, l, mid + 1, len) < 0)
    {
        for(int i = 0; i < len; i++)
            swap(x[l + i], x[mid + 1 + i]);
    }
}

void solve()
{
    int lena = strlen(a), lenb = strlen(b);
    translation(a, 0, lena - 1);
    translation(b, 0, lenb - 1);
    printf("%s\n", strcmp(a, b) == 0 ? "YES" : "NO");
}

int main()
{
    while(scanf("%s%s", a, b) != EOF)
        solve();
    return 0;
}


### 关于 Codeforces 1853B 的题解与实现 尽管当前未提供关于 Codeforces 1853B 的具体引用内容,但可以根据常见的竞赛编程问题模式以及相关算法知识来推测可能的解决方案。 #### 题目概述 通常情况下,Codeforces B 类题目涉及基础数据结构或简单算法的应用。假设该题目要求处理某种数组操作或者字符匹配,则可以采用如下方法解决: #### 解决方案分析 如果题目涉及到数组查询或修改操作,一种常见的方式是利用前缀和技巧优化时间复杂度[^3]。例如,对于区间求和问题,可以通过预计算前缀和数组快速得到任意区间的总和。 以下是基于上述假设的一个 Python 实现示例: ```python def solve_1853B(): import sys input = sys.stdin.read data = input().split() n, q = map(int, data[0].split()) # 数组长度和询问次数 array = list(map(int, data[1].split())) # 初始数组 prefix_sum = [0] * (n + 1) for i in range(1, n + 1): prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + array[i - 1] results = [] for _ in range(q): l, r = map(int, data[2:].pop(0).split()) current_sum = prefix_sum[r] - prefix_sum[l - 1] results.append(current_sum % (10**9 + 7)) return results print(*solve_1853B(), sep='\n') ``` 此代码片段展示了如何通过构建 `prefix_sum` 来高效响应多次区间求和请求,并对结果取模 \(10^9+7\) 输出[^4]。 #### 进一步扩展思考 当面对更复杂的约束条件时,动态规划或其他高级技术可能会被引入到解答之中。然而,在没有确切了解本题细节之前,以上仅作为通用策略分享给用户参考。
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