3D数学--学习笔记（三）：3D中绕任意轴的旋转

本文转自：http://blog.youkuaiyun.com/zjc_game_coder/article/details/24269757

不要小看我们在Unity或者3DMAX中的一个简单的旋转物体操作。

——题记

这里需要用到的知识：向量运算（数量积，叉乘，加减）、矩阵基本运算。

让我们导出绕任意轴n旋转角度Θ的矩阵。

即 vR(n.Θ) = v ' 。

只要能用v,n,Θ表示出v ' 即可，然后再求出基向量。

方法如下：（看图）

说明：

1.向量n是单位向量

2.VII向量和VT向量是V向量的分向量，即满足：V = VII + VT   ①，同时，由于VII平行于n向量，它也是V在n上的投影，于是有 VII = (V *n)n  ②（与物理上的求做功大小是一样理解的！）。

3.V ' 向量是 V向量 绕 n旋转后得到的向量，虚线表示，同理VT ' 。

4.W向量是垂直于V，VII所在平面的向量，这是引入的，为了便于讨论问题，其长度 =  V 向量模长。W是VT绕n旋转90°得到的，故有：W = n X VT   ③。（力矩知识哈！）

下面开始求解：

由旋转后，可以得到：VT ' = VT * COSΘ + W * SinΘ     ④（三角函数知识哈..超级有用的玩意儿）

由②、①可推出 VT = V - (V * n)n  。⑤

由①、②、③可得： W = n X v。⑥

将⑤、⑥带入 ④ 可得：

v ' = (v - (v*n)n)cosΘ + (n x v)sinΘ +(v * n)n

现在已经得到v ' 与v，n，Θ的关系了，于是，下一步就是得到基向量然后再构造矩阵，哈哈。

第一个基向量为：

p  = [1  0  0]

p ' = (p - ( p * n )n)cosΘ + (n x p)sinΘ + (p * n)n

然后按照矩阵运算方法即可，还算简单吧！

最后得到：

另外两个基向量的方法类似，同时我们也就得到了R(n,Θ) ：