数论概论读书笔记 14.梅森素数

梅森素数

本节我们研究形如$a^n-1(n\ge 2)$的素数。例如31就是这样的数，因为$31=2^5-1$

容易知道若a是奇数，则$a^n-1$是偶数，即不可能是素数。

且$a-1$始终是$a^n-1$的因子。为啥呢？因为使用几何级求和公式，（展开即可证明该公式）

$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+x+1)$$
所以若$a^n-1$为素数，则a一定等于2。反之显然不成立。

下面对$2^n-1$进一步总结结论。

• 当n是偶数时，$（2^n-1）$ 一定能被$3=2^2-1$整除
• 当n能被3整除时，$(2^n-1)$ 一定能被$7=2^3-1$整除
• 当n能被5整除时，$(2^n-1)$ 一定能被$31=2^5-1$整除

我们猜测，如果n能被m整除，则$（2^n-1）$一定能被$2^m-1$整除。这是正确的，同样可以使用几何级求和公式证明。

总结一下，有下面的命题

命题14.1 如果对于整数$a\ge2$与$n\ge2$，$a^n-1$是素数，则a必等于2，且n一定是素数。

形如$2^p-1$的素数，就称为梅森素数。

前几个梅森素数的是：

研究梅森素数并没有什么意义，但有一个相关的数学问题很值得研究：

是否存在无穷多个梅森素数？