【力扣】416.分割等和子集-优快云博客

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题目

思路

`dp[i][j]`的定义

i：表示当前考虑的是数组中前i个元素（从0开始计数）。也就是说，i代表了我们当前可以使用的元素范围是从第一个元素到第i个元素。
j：表示我们尝试达到的目标和。这个值从0到target（其中target是数组总和的一半）。

因此，dp[i][j]是一个布尔值，表示是否可以通过选择数组中前i+1个元素中的某些元素，使得这些元素的和恰好等于j。

初始化

对于所有的i，设置dp[i][0] = true，这是因为对于任何一组元素，都存在一种情况即不选取任何元素，此时元素的和为0。
对于dp[0][nums[0]]，如果nums[0] <= target，则设置dp[0][nums[0]] = true，因为第一个元素本身就能构成和为nums[0]的子集。

状态转移方程

对于每个元素nums[i]，我们需要更新dp数组以反映包含或不包含当前元素的所有可能性。具体的状态转移方程如下：

如果目标和j大于等于当前元素num（即nums[i]），则有两种情况：
- 不选择当前元素：dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 选择当前元素：dp[i][j] = dp[i-1][j-num]。这意味着如果我们选择了当前元素，则需要检查剩余部分（即j-num）是否可以通过前i-1个元素来实现。
因此，状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-num]。
如果j < num，则不能选择当前元素，只能依赖不选择当前元素的情况：dp[i][j] = dp[i-1][j]。

最终结果

最终的结果是dp[n-1][target]，其中n是数组的长度，target是数组总和的一半。如果dp[n-1][target]为true，则表示可以找到一个子集，其元素之和等于target，从而可以将原数组分割成两个和相等的子集。

实例

以nums = [1,5,11,5]为例

nums[i]/j

nums[0] = 1

nums[1] = 5

nums[2] = 11

nums[3] = 5

代码

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()<2) return false;

        int sum = 0;
        int mx = nums[0];
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum += nums[i];
            if(mx<nums[i]){
                mx = nums[i];
            }
        }

        if(sum%2!=0) return false;
        int target = sum/2;
        if(mx>target) return false;

        int n = nums.size();
        vector<vector<bool>> dp(n,vector<bool>(target+1));

        // 对于前i个正整数，j=0代表一个正整数都不取，是可以做到的
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i][0] = true;
        }
        // 对于第一个正整数，如果放下，就是dp[0][nums[0]]=true
        dp[0][nums[0]] = true;
        
        for(int i=1;i<n;i++){
            int num = nums[i];
            for(int j=1;j<=target;j++){
                //当前正整数小于等于目标值，可以考虑放入/不放入
                if(num<=j){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-num];
                }else{
                 //当前正整数大于目标值，不能放入
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];   
                }
            }
        }

        return dp[n-1][target];
    }
};