【NOIP2017提高组模拟12.10】幻魔皇

题目

Description

幻魔皇拉比艾尔很喜欢斐波那契树，他想找到神奇的节点对。
所谓斐波那契树，根是一个白色节点，每个白色节点都有一个黑色节点儿子，而每个黑色节点则有一个白色和一个黑色节点儿子。神奇的节点对则是指白色节点对。
请问对于深度为n的斐波那契树，其中距离为i的神奇节点对有多少个？拉比艾尔需要你对于1<=i<=2n的所有i都求出答案。

Input

一行一个正整数n。

Output

一行2n个整数表示答案，对123456789取模。

Sample Input

5

Sample Output

0 2 3 3 1 1 0 0 0 0

Data Constraint

对于20%的数据n<=10；
对于40%的数据n<=20；
对于60%的数据n<=30；
对于80%的数据n<=400；
对于100%的数据n<=5000。

题解

我们设gcd(a,b)=d
a=a’*d,b=b’ *d
则如果要满足题目中的条件，就要满足$d(a'+b')|d*d*a'*b'$，然后因为a’和b’是互质的，所以我们有：gcd(a’+b’,a’*b’)=1，则：$(a'+b')|d$
我们设$k(a'+b')=d$,根据题意中a+b<=n可得：$d(a'+b')<=n$，将两式子结合，得：
$k(a'+b')^2<=n$，移项之后：k<=$n/(a'+b')^2$,那么这个值就是可以取的d的个数（不可以直接将$d(a'+b')<=n$移项，以为还要满足$(a'+b')|d$）

那么我们可以枚举d(1,n],那么对于一个确定的k，可能的对数就为$\phi(d)*n/d^2$
这是为什么呢？
首先对于一个确定的d我们可以取的k一共有$n/d^2$种，然后就是对于每一个k，如果一对数a,b合法，那么就有1:a+b=d ,2:gcd(a,b)=1
由2得：gcd(b,a+b)=1,即gcd(b,d)=1
所以是$\phi(d)$
然后我们发现如果$d>\sqrt{n}$，那么上述的值就为0
所以最终复杂度：$\sqrt{n}$

关于线性筛

由于本人以前比较弱，不会证明线筛，现在打一下证明
首先我们每遇到一个质数，就把它加进一个存质数的数组中
然后发现i*p[j]一定是一个合数
乍一看这样会超时
但是一条神奇的语句：if i mod p[j]=0 then break让这个东西变成了O(N)
我们设1:i*p[j]=p,2:i’ *p[j’]=p,且$j<j'$
然后如果这样做对于每一个合数只会被最小的一个p[j]筛掉
因为较大的其他的都会被break掉

贴代码

var
    p:array[0..10000005]of longint;
    ol:array[0..10000005]of int64;
    bz:array[0..10000005]of boolean;
    i,j,n:longint;
    x,y,m,ans:int64;
begin
    assign(input,'uria.in'); reset(input);
    assign(output,'uria.out'); rewrite(output);
    readln(m);
    n:=trunc(sqrt(m));
    for i:=2 to n do
    begin
        if bz[i]=false then
        begin
            ol[i]:=i-1;
            inc(p[0]);
            p[p[0]]:=i;
        end;
        for j:=1 to p[0] do
        begin
            if (i*p[j]>n)then break;
            bz[i*p[j]]:=true;
            if i mod p[j]=0 then ol[i*p[j]]:=ol[i]*p[j]
            else ol[i*p[j]]:=ol[i]*(p[j]-1);
            if i mod p[j]=0 then break;
        end;
    end;
    for i:=2 to n do ans:=ans+((m div i) div i)*ol[i];
    writeln(ans);
    close(input); close(output);
end.