{题解}[jzoj3749]【Srm590】Fox And City(fox)

传送门

Description

给予一张连通图 保证所有边为双向边
现给出一些新(双向)边 每条边可连可不连
要求最小化并输出 $\sum (dis_i - wat_i)^2$

Analysis

大概能有一种限制条件的味道
我们考虑 写出合法的 dis 应当满足的条件

1. 作为最短路 若 i 与 j 有边相连 则 $|dis_i - dis_j| <= 1$ 否则可以用其中一个更新另一个
2. 作为连通图 dis 数组中没有断层 也就是说 如果有 i 满足 $dis_i = k$ 必定有与i相连的 j 满足 $dis_j = k - 1
3. 根据dis的定义 $dis_0 = 0$

可以开始构图了
设 $P_{x,y}$ 表示 $dis_x ≤ y$
若 $P_{x,y}$ 在 S 集中 则 $dis_x ≤ y$ 不成立 否则成立
1. $S -> P_{0,0} = 0, S -> P_{k,0} = INF P_{i,0...n-1} -> T = 0 (k > 0,i ≥ 0)$
2. 将 $P_{x,0...n-1}$ 连成一条链 则割掉 $P_{x,i} -> P_{x,i+1}$ 表示令 $dis_x = i+1$ 权值显然
3. 对于原图中 i 与 j 有边相连 以 $P_{i,x} 向 P_{j,x+1}$ 连一条不可割的边 表示当 $dis_i 取 x 时 dis_j 只能取 dis_i ± 1 或 dis_i$

显然 对于任意一个割 都有一张对应的图
故最小割即最优解