Lucas定理模板

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本文介绍了一种利用 Lucas 定理计算大数组合数的方法，并给出了具体的 C++ 实现代码。该方法适用于求解 m^n mod p 类问题，通过递归分解组合数并考虑阶乘的特殊处理，确保了计算的正确性和效率。

C m n m o d p = C m / p n / p * C m m o d p n m o d p

$C_n^m mod p = C_{n/p}^{m/p}*C_{nmodp}^{mmodp}$

其中m/p n/p可以递归边界为m = 0 返回1
另外
注意组合数计算时考虑是否存在，当m>n时不存在返回0
处理阶乘一定要从0开始处理 fac0 = 1
不把fac0赋为1，从fac1 = 1开始处理阶乘会错因为组合数可能要用到0的阶乘
看来一定要严格按定义来写

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define debug(x) cerr << #x << "=" << x << endl;
const int MAXN = 1000000 + 10;
typedef long long ll;
int p,t,n,m;
ll fac[MAXN];
ll qpow(ll a, ll b) {
    ll temp = 1;
    for(; b; b>>=1) {
        if(b & 1) {
            temp = temp * a % p;
        }
        a = a * a % p;
    }
    return temp;
}

ll c(ll n, ll m) {
    if(m > n) return 0;
    return fac[n] * qpow(fac[m], p-2) * qpow(fac[n-m], p-2) % p;
}
ll lucas(ll n, ll m) {
    if(m == 0) return 1;
    return c(n%p, m%p) * lucas(n/p, m/p) % p;
}
int main() {
    scanf("%d", &t);
    fac[0] = 1;
    while(t--) {
        scanf("%d %d %d", &n, &m, &p);
        for(int i=1; i<=n+m; i++) {
            fac[i] = fac[i-1]*i%p;
        }
        cout << lucas(n+m,m) << endl;
    }
    return 0;
}