素数及一些筛法

1 定义

素数就是只有1和它本身两个因数

2 素数的判定

int prime(int x){
	for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
	if(x%i==0)
	return 0;
	return 1;
}

3 埃氏筛法

从2开始，2是第一个素数，不标记，然后把2的倍数都标记为合数，再从3开始，依次到n。
时间复杂度好像是O(n log(n) log(n) )，证明过程不大懂…

int flag[maxn],prime[maxn];
int tot,
void prime(){
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!flag[i])
		{
			prime[tot++]=i;
			for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
				flag[j]=1;
		}
	}
} 

4 线性筛（欧拉筛）

在埃氏筛法中，有的数字例如6是被重复标记的，这样就浪费了很多时间，线性筛则保证了每个数字只被处理一次，因此时间复杂度是O(n)的。它保证了每个合数都是被它的最小质因数所筛掉的。
A B C都是合数，P1 P2 为素数。

A = P1 * B
B = P2 * C
A = P1 * P2 * C
A = (P1*C) * P2

每一个合数都可分解为一个更小的素数和一个更大的合数的乘积。所以每一个合数都可分解为一个它的最小的质因数和一个合数的乘积。
线性筛的核心就在于

if(i%prime[j]==0)	break;

i是合数，prime[j]是素数，i *prime[j]为要处理的数，如果prime[j]是i的一个因数，则说明i *prime[j]有一个比prime[j]更小的质因数，即该数可以用一个i更大的合数和比prime[j]更小的素数表示，而我们需要的是用最小的素数去筛，也就以为着i也是最大的合数去筛，
i是合数，prime[j]是素数，在此 if 语句中i *prime[j]的最大质因子是prime[j]，若此次if判断成立，说明i的因子中包含prime[j]，则如果j++进行下一次循环，那么在这次循环中i *prime[j]的最大质因子就不是这一层中的prime[j]而是上一层的i分解的上一层的prime[j]，所以内层循环应该从此处跳出。

完整代码：

int flag[maxn],prime[maxn];
int tot;
void prime(){
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!flag[i])
		{
			prime[tot++]=i;
		}
		for(int j=0;j<tot;j++)
		{
			if(i*prime[j]>n)	break;
			flag[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)	break;
		}
	}
}