codeforces 708E——前缀和优化dp

最新推荐文章于 2025-07-08 05:30:00 发布

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该博客介绍了如何利用前缀和优化动态规划（DP）方法来解决codeforces上的708E问题。问题涉及一个n*m的砖墙建筑，在k天内，每天风吹拂使得砖块可能掉落。博主通过预处理和计算不同行砖块形状的概率，提出了一种O(n*m^2)和进一步优化到O(n*m)的时间复杂度解决方案。

题目大意为：
一个n*m块砖的建筑，一共k天，每天风从两边吹，吹掉砖的概率为p，反之为1-p求最终建筑没有倒塌的可能性（上层与下层有交集且每一层都有砖）
1<=n,m<=1500,1<=k<=100000
先预处理出pl[],pr[](k天后左右端点所在位置的可能性)
首先 f[i][l][r]为i行形状为l到r的可能性，只要枚举上层的形状使二者有交集即可转移，复杂度n^5。
考虑上层有交集的可能性为总可能性减去交集为空的可能性
引入dp[i][r]=Σl<r f[i][l][r]
预处理sumr[i][r]=Σl<=r dp[i][l]
由于对称性suml[i][l]=sum[i][m-l+1]
所以f[i][l][r]=pl[l]*pr[r]*(sumr[i][m]-sumr[i][l-1]-suml[i][r+1])
至此O(n*m^2)
发现若固定区间右一端点，左端点的计算是类似的，变化为pl[l]*sumr[i][l-1]
直接求解dp[i][r]=Σl<=r pl*pr*(sumr[i][m]-suml[i][r+1]-sumr[i][l-1])
=pr(sumr[i][m]-sum[i][r+1])*Σpl-Σ(pl[l]*sumr[i][l-1])
显然通过简化状态将时间复杂度简化为O(n*m)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2010,K=100010;
ll P[K],P2[K];
ll dp[N][N];
ll sum[N],sumr[N][N],suml[N][N],sumpl[N];
ll cj[K],inv[K];
ll pl[N],