快速幂以及矩阵快速幂

最新推荐文章于 2025-02-20 15:41:56 发布

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博客介绍了通过二进制将数转化为2的幂次序列之和，进而实现幂运算的方法，借助位运算可方便实现该算法，复杂度为O(logn)。还给出了快速幂和矩阵快速幂的代码实现，包括普通快速幂函数及矩阵快速幂的结构体、矩阵求积和矩阵快速幂函数。

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我们能够找到2k1+2k2+2k3+…+2km=n。这样，我们可以通过递推，在很短的时间内求出各个项的值。
比如，2进制数1001，它的值可以表示为10进制的1×23+0×22+0×21+1×20，即9。这完美地符合了上面的要求。可以通过2进制来把n转化成2km的序列之和，而2进制中第i位（从右边开始计数，值为1或是0）则标记了对应的2i−1是否存在于序列之中。譬如，13为二进制的1101，他可以表示为23+22+20，其中由于第二位为0，21项被舍去。

如此一来，我们只需要计算a、a2、a4、a8…a2km的值（这个序列中的项不一定都存在，由n的二进制决定）并把它们乘起来即可完成整个幂运算。借助位运算的操作，可以很方便地实现这一算法，其复杂度为O(logn)。
ll quickpow(ll x,ll n){
ll ans=1,res=x;
while(n){
if(n&1) ans*=res;
ans%=mod;
res*=res;
res%=mod;
n=n>>1;
}
return ans;
}//快速幂
//矩阵快速幂
struct matrix//定义一个结构体，方便传递值
{
int m[maxn][maxn];
};

/*
maxn和mod由全局定义，其中mod根据需要可以省去
*/

matrix mat_multi(matrix a, matrix b)//矩阵求积
{
matrix ans;
for(int i = 0;i < maxn;i++)
{
for(int j = 0;j < maxn;j++)
{
ans.m[i][j] = 0;
for(int k = 0;k < maxn;k++)
{
ans.m[i][j] += (a.m[i][k] % mod * b.m[k][j] % mod) % mod;
ans.m[i][j] %= mod;
}
}
}
return ans;
}

matrix mat_quickpow(matrix a, int n)//矩阵快速幂
{
matrix ans;
for(int i = 0;i < maxn;i++)
{
for(int j = 0;j < maxn;j++)
{
if(i == j)
ans.m[i][j] = 1;
else
ans.m[i][j] = 0;//这里要初始化为单位矩阵，类比普通快速幂这里初始化为1
}
}
while(n != 0)//方法与普通快速幂相同，只有乘法的实现不同
{
if(n & 1)
ans = mat_multi(a, ans);
a = mat_multi(a, a);
n >>= 1;
}
return ans;
}