【bzoj1040】【ZJOI2008】【骑士】

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本文介绍了一种解决骑士团成员间矛盾并选出最优战斗力军团的算法。通过构建图模型，利用树形DP技术和环处理技巧，实现了高效的求解。

1040: [ZJOI2008]骑士

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
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Description

Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

Input

第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

Output

应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

Sample Input

10 2

20 3

30 1
Sample Output

30
HINT

对于100%的测试数据，满足N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

题解：这道题是一个环套森林，顺便学了一下怎样在一个环上dp。
其实我们如果抛去环不看的话，这道题是比较简单的，跟poj上的一道树形dp时一样的，都是在父节点和子节点上选一个的问题。
那么我们再来看环的问题，对于环我们其实可以将环拆成两条链来做，一个是强制不取最后一个元素，另一个是强制不取第一个元素。
在找到每一环的时候，我们先对环上的树进行dp。

f [i] [0] = \sum (f t r e e [s o n] [0], f t r e e [s o n] [1]) 表 示 不 选 第 i 个 点 。

$f[i][0]=\sum(ftree[son][0],ftree[son][1]) 表示不选第i个点。$

f [i] [1] = \sum (f t r e e [s o n] [0]) + v [i] 表 示 选 第 i 个 点 。

$f[i][1]=\sum(ftree[son][0] ) +v[i] 表示选第i个点。$
这样处理完环上的树以后，再来处理环。
其实处理环也很简单，分成两种情况取最大值就好了。
chain[i]数组记录环上的元素。
fchain[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1])+ftree[chain[i]][0];
fchian[i][1]=f[i-1][0]+ftree[chain[i]][1];
然后就行了。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000010;
int point[N],next[N],tot=1,fa[N],v[N],n,son[N],chain[N];
long long ftree[N][2]={0},fchain[N][4],ans=0,maxn=0;
bool use[N];
struct S{
    int st,en;
}aa[N];
void add(int x,int y)
{
    tot+=1;next[tot]=point[x];point[x]=tot;
    aa[tot].st=x;aa[tot].en=y;
}
void dptree(int x)
{
    int i;
    use[x]=false;
    ftree[x][0]=0; ftree[x][1]=v[x];
    for(i=point[x];i;i=next[i]){
        dptree(aa[i].en);
        ftree[x][0]+=max(ftree[aa[i].en][0],ftree[aa[i].en][1]);
        ftree[x][1]+=ftree[aa[i].en][0];
    }
}
void dpchain()
{
    int i;
    maxn=0;
    fchain[1][0]=ftree[chain[1]][0];
    fchain[1][1]=ftree[chain[1]][1];
    for(i=2;i<=chain[0];++i){
        fchain[i][0]=max(fchain[i-1][0],fchain[i-1][1])+ftree[chain[i]][0];
        fchain[i][1]=fchain[i-1][0]+ftree[chain[i]][1];
    }
    maxn=fchain[chain[0]][0];
    fchain[1][0]=ftree[chain[1]][0];
    fchain[1][1]=ftree[chain[1]][0];
    for(i=2;i<=chain[0];++i){
        fchain[i][0]=max(fchain[i-1][0],fchain[i-1][1])+ftree[chain[i]][0];
        fchain[i][1]=fchain[i-1][0]+ftree[chain[i]][1];
    }
    maxn=max(maxn,max(fchain[chain[0]][1],fchain[chain[0]][0]));
}
int main()
{
    int i,j,x,y,k,now;
    scanf("%d",&n);
    memset(use,1,sizeof(use));
    for(i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        v[i]=x;
        fa[i]=y;
        add(y,i);
    }
    /*------dp-------*/
    for(i=1;i<=n;++i){
        if(!use[i]) continue;
        k=i;chain[0]=0;
        while(use[k]){
            use[k]=false;
            k=fa[k];
            son[fa[k]]=k;
        }
        now=k;
        while(1){
            ftree[k][1]=v[k];
            for(j=point[k];j;j=next[j]){
                if(aa[j].en!=son[k]){
                    dptree(aa[j].en);
                    ftree[k][0]+=max(ftree[aa[j].en][0],ftree[aa[j].en][1]);
                    ftree[k][1]+=ftree[aa[j].en][0];
                }
            }
            //cout<<ftree[k][1]<<' '<<ftree[k][0]<<endl;
            chain[0]+=1;
            chain[chain[0]]=k;
            k=fa[k];
            if(k==now) break;
        }
        dpchain();
        ans+=maxn;
    }
    cout<<ans<<endl;
}