萌新学习SG函数与SG定理(含uva1378 - A Funny Stone Game题解)-优快云博客

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本文探讨了NIM游戏的策略，介绍了如何通过计算异或和确定先手胜负，并引入了SG函数和SG定理的概念，解释了在复杂游戏场景中判断必胜必败状态的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先从NIM游戏说起

有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子的个数为 $a_i$
每个人每次只能从一堆种取若干个石子，最后不能取的人输，两个人都绝顶聪明，问先手必胜还是必败
结论是这样的：
如果 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$ ，那么先手必败，否则先手必胜
为了便于叙述，我把 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$ 叫做 $a_1...a_n$ 这 $n$ 个数字的 $n i m$ 和(异或和)
证明可以用数学归纳法：

基础

如果每堆石子的个数都是 $0$ ，那么先手已经无法操作，此时先手必败

归纳

假设当前总石子数为 $S$ 总石子数为 $k < S$ 时该结论成立

当 $n i m$ 和等于 $0$ 时，假设我取第 $i$ 堆里的石子，显然 $a_i>0$ ，因为 $a_i$ 与其它石子堆的 $n i m$ 和为 $0$ ，所以其它石子堆的 $n i m$ 和就等于 $a_i$ ，不管我在 $a_i$ 中取几个石子，取完之后这一堆里面剩下的石子数 $a_i'\not = a_i$ ，那么总的 $n i m$ 和也就不再等于 $0$ ，根据假设，这时我处于必胜态，也就是说最开始的状态就是先手必败态。
当 $n i m$ 和不等于 $0$ 时，假设 $n i m$ 和为 $k$ ，考虑 $k$ 二进制最高位上的 $1$ ，肯定有至少一堆石子的这一位也是 $1$ ，就随便取其中一堆，不妨设它是第 $i$ 堆，设其余堆的 $n i m$ 和为 $x$ ，那么 $a_i\oplus x=k$ 。我把第 $i$ 堆取成 $a_i\oplus k$ ，那么最后的 $n i m$ 和就是 $(a_i\oplus k) \oplus x = 0$ ，而 $a_i\oplus k < a_i$ ，也就是说着这种方案一定存在。根据假设，取完之后我面临先手必败局面，也就是说一开始我处于先手必胜态

结论

根据数学归纳法第二原理，若 $n$ 堆石子的异或和为 $0$ 则先手必败，否则先手必胜。

SG函数、SG定理

这一部分的具体原理目前还没看懂…具体请详见《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》
对于这样的游戏：
双方轮流操作，不能操作的输
双方的操作规则是相同的
无论怎样操作，游戏总能在有限步内完成
就是说对于每种局面 $x$ ，给一个函数值 $S G (x)$ ，假设 $x$ 的后继局面为 $x_1,x_2,x_3...x_k$ ，那么 $SG(x)=mex\{SG(x_1),SG(x_2),...,SG(x_k)\}$ ， $m e x (A)$ 表示不存在在集合 $A$ 中的最小自然数( $A$ 是自然数集的有限子集)。
若 $S G (x) = 0$ 则局面 $x$ 为必败态，否则为必胜态
游戏的和：
如果一个游戏 $G$ 是由若干互不相干的游戏 $game_1,game_2,...,game_k$ 构成，玩家可以进入任何一个游戏并在这个游戏中操作一步，对于这种情况， $SG(G)=SG(game_1)\oplus SG(game_2)\oplus...\oplus SG(game_k)$

UVA1378 - A Funny Stone Game

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4124
这题可以把一个石子看作一个游戏， $S G (x)$ 表示第 $x$ 堆上的一个石子所构成的游戏，其后继局面就是第 $j$ 堆中的一个石子和第 $k$ 堆中的一个石子，而且这两个石子是互不相干的两个游戏，因此可以应用 $S G$ 定理来解决，枚举 $j, k$ ， $mex_{i<j\leq k}(\{SG(j)\oplus SG(k)\})$

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 2019
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
ll SG[maxn], s[maxn], tmp[maxn], N;
ll read(ll x=0)
{
	ll c, f=1;
	for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
	return f*x;
}
ll mex()
{
	ll i;
	for(i=0;i<maxn;i++)
		if(!tmp[i])return i;
}
bool judge()
{
	cl(SG);
	ll i, j, k, nim, x;
	for(i=N-1;i;i--)
	{
		cl(tmp);
		for(j=i+1;j<=N;j++)
			for(k=j;k<=N;k++)
				tmp[SG[j]^SG[k]] = 1;
		SG[i] = mex();
	}
	nim = 0;
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		nim ^= (~(s[i]&1)+1)&SG[i];
	}
	return !!nim;
}
int main()
{
	ll i, j, k, kase=0, a, b, c;
	while(N = read())
	{
		for(i=1;i<=N;i++)s[i] = read();
		a = b = c = 0;
		for(i=1;i<N and !a;i++)for(j=i+1;j<=N and !a;j++)for(k=j;k<=N and !a;k++)
		{
			if(s[i]>0)
			{
				s[i] --;
				s[j] ++;
				s[k] ++;
				if(judge()==0)a=i, b=j, c=k;
				s[i] ++;
				s[j] --;
				s[k] --; 
			}
		}
		kase++;
		printf("Game %lld: %lld %lld %lld\n",kase,a-1,b-1,c-1);
	}
	return 0;
}