uva1426 Discrete Square Roots

本文深入探讨了扩展欧几里得算法在求解特定形式的不定方程中的应用,通过对ax+by=c的形式进行数学推导,阐述了如何利用已知根找到所有可能的解,特别关注于如何缩小枚举范围以提高算法效率。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=4172

题解

通过做这道题,我对扩展欧几里得求解 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c的理解更深入了
因为它已经给出了一个根 r r r
假设另一个根是 k k k
则有 r 2 − k 2 ≡ 0   ( m o d   n ) r^2-k^2\equiv 0\ (mod\ n) r2k20 (mod n)
( r − k ) ( r + k ) ≡ 0 ( m o d   n ) (r-k)(r+k)\equiv0(mod\ n) (rk)(r+k)0(mod n)
( r − k ) ( r + k ) = t n (r-k)(r+k)=tn (rk)(r+k)=tn,其中 t t t是整数
显然 ( r − k ) + ( r + k ) = 2 r (r-k)+(r+k)=2r (rk)+(r+k)=2r这个性质很好,肯定能够帮助我们做题
于是想到能不能转化成 a x + b y = 2 r ax+by=2r ax+by=2r解不定方程
如果只是令 a = b = 1 a=b=1 a=b=1,那这个范围也太大了,枚举的复杂度有点高
假设 ( r − k ) = a x , ( r + k ) = b y (r-k)=ax,(r+k)=by (rk)=ax,(r+k)=by,那么 a x × b y = t n ax\times by=tn ax×by=tn
等式的右边是一个任意整数乘以 n n n,那么左边肯定能提出因子 n n n
这一点可以缩小我们的枚举范围
我令 a b = n ab=n ab=n
那么只需要在 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )时间内枚举对应的数对 ( a , b ) (a,b) (a,b)
再解一个不定方程就行了

代码

//扩展欧几里德、数学推导 
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define maxn 1000010
using namespace std;
ll lis[maxn], N, x, r;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	ll xx, yy;
	if(!b){x=1, y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,xx,yy);
	x=yy, y=xx-a/b*yy;
}
ll gcd(ll a, ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
bool solve_equation(ll a, ll b, ll c, ll &x, ll &y)
{
	ll g=gcd(a,b);
	if(c%g)return false;
	exgcd(a,b,x,y);
	x*=c/g, y*=c/g;
	return true;
}
ll read(ll x=0)
{
	ll c, f=1;
	for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
	return f*x;
}
void solve()
{
	ll A, B, tmp, x, y, K, i;
	*lis=0;
	for(A=1;A*A<=N;A++)
		if(N%A==0)
		{
			lable:
			B=N/A;
			if(!solve_equation(A,B,2*r,x,y))continue;
			tmp=A/gcd(A,B);
			y%=tmp;
			for(;B*y-r<N+tmp;y+=tmp)
			{
				K=B*y-r;
				K=(K%N+N)%N;
				lis[++*lis]=K;
			}
			if(A*A<N){A=N/A;goto lable;}
			else A=N/A;
		}
	sort(lis+1,lis+*lis+1);
	for(i=1;i<=*lis;i++)if(lis[i]!=lis[i-1])printf(" %lld",lis[i]);
	putchar(0xa);
}
int main()
{
	ll kase=0;
	while(N=(read(),read()), r=read())printf("Case %lld:",++kase), solve();
	return 0;
}
<think>好的,用户现在问的是“matlab discrete”,我需要先弄清楚他们具体想了解什么。之前的对话中,用户询问过如何将一列数据分成五个区间,我提供了等宽分箱和等频分箱的方法。现在用户提到“discrete”,可能是指离散化相关的函数或操作,比如将连续数据离散化,或者与离散数学相关的功能。 首先,我需要考虑“discrete”在MATLAB中的常见应用场景。可能包括: 1. 数据离散化(分箱):如之前的回答,使用discretize函数。 2. 离散数学相关函数:比如处理离散傅里叶变换(DFT)、离散余弦变换(DCT)等。 3. 离散系统建模:如控制系统中的离散时间系统。 4. 符号计算中的离散操作,例如处理离散变量。 接下来,我需要分析用户可能的意图。用户之前的问题是关于数据分箱,所以他们可能继续深入询问离散化的其他方法,或者想知道MATLAB中与离散相关的其他功能。也有可能用户对discrete这个关键词有其他的理解,比如离散数学中的某些应用。 考虑到用户之前的问题是关于数据分区的,可能他们现在想进一步了解MATLAB中处理离散数据的更多函数或方法。例如,除了分箱,还有分类变量、离散化后的分析,或者离散变换等。 另外,需要检查用户是否有拼写错误,是否指的是“discretize”函数,或者是离散事件仿真之类的功能。不过,根据上下文,更可能还是围绕数据离散化展开。 接下来,我需要组织回答的结构,涵盖可能的几个方面,但重点放在数据离散化上,因为用户之前的问题是这个方向。同时,可以简要提到其他相关的离散处理功能,以便覆盖所有可能性。 需要确保回答清晰,分点说明,提供代码示例,并解释每个方法的用途。例如:discretize函数的使用,histcounts的统计,以及分类数组的处理。此外,如果涉及离散数学或变换,也需要简单提及,但可能不是用户的主要需求。 还要检查是否有其他相关函数或工具箱,比如Statistics and Machine Learning Toolbox中的相关功能,或者数据库中的离散化方法。例如,使用kmeans分箱,或者其他分位数方法。 需要提醒用户如果是指其他方面的离散处理,可以提供更详细的信息。这样回答会更全面,覆盖用户可能的多种需求。 最后,确保语言简洁,步骤明确,代码示例正确,并符合之前的格式要求,比如使用中文,正确使用LaTeX格式等。</think>在MATLAB中,“离散”(discrete)相关操作通常涉及**数据离散化**(分箱)、**离散数学运算**或**离散系统建模**。以下是常见应用场景及实现方法: --- ### **1. 数据离散化(分箱)** 将连续数据划分为离散区间,常用函数 `discretize` 和 `histcounts`。 #### **示例1:等宽分箱** ```matlab data = randn(100,1); % 示例数据 edges = linspace(min(data), max(data), 6); % 5个区间需6个边界 bins = discretize(data, edges); % 返回每个数据点所属区间的编号(1~5) counts = histcounts(data, edges); % 统计各区间的频数 ``` #### **示例2:等频分箱(按分位数)** ```matlab edges = quantile(data, linspace(0, 1, 6)); % 通过分位数定义边界 bins = discretize(data, edges); ``` #### **自定义区间标签** ```matlab labels = ["Low", "Medium-Low", "Medium", "Medium-High", "High"]; categorical_bins = categorical(bins, 1:5, labels); % 转换为分类变量 ``` --- ### **2. 离散数学相关操作** #### **(1) 离散傅里叶变换(DFT)** ```matlab signal = [1, 2, 3, 4]; dft_result = fft(signal); % 快速傅里叶变换 ``` #### **(2) 离散余弦变换(DCT)** ```matlab dct_result = dct(signal); % 常用于信号压缩 ``` #### **(3) 离散概率分布** ```matlab x = 0:10; pmf = binopdf(x, 10, 0.5); % 二项分布概率质量函数 stem(x, pmf); % 绘制离散分布图 ``` --- ### **3. 离散系统建模** #### **(1) 离散传递函数** ```matlab sys = tf([1 0.5], [1 -0.2], 0.1); % 采样时间0.1秒的离散系统 step(sys); % 绘制阶跃响应 ``` #### **(2) 状态空间模型** ```matlab A = [0.8 0.5; -0.4 0.2]; B = [0; 1]; C = [1 0]; D = 0; sys_d = ss(A, B, C, D, 0.1); % 离散状态空间模型 ``` --- ### **4. 符号计算中的离散操作** ```matlab syms n integer; % 声明整数符号变量 sequence = n^2; % 定义离散序列 ztrans(sequence); % Z变换(离散频域分析) ``` --- ### **关键区别说明** | **操作类型** | **核心函数/工具** | **典型应用场景** | |--------------------|---------------------------|------------------------------| | 数据分箱 | `discretize`, `histcounts` | 数据预处理、分类分析 | | 离散信号处理 | `fft`, `dct` | 信号分析、压缩 | | 离散系统建模 | `tf`, `ss` | 控制系统设计、数字滤波 | | 离散概率分布 | `binopdf`, `poisspdf` | 统计建模、随机过程分析 | --- ### **注意事项** - **分箱边界处理**:`discretize` 默认左闭右开($a \leq x < b$),可通过 `IncludedEdge` 参数调整。 - **离散系统采样时间**:建模时需明确采样时间(如 `tf(num, den, Ts)`)。 - **符号计算约束**:使用 `integer` 声明离散变量(如 `syms n integer`)。 --- 如果需要更具体的功能(如离散事件仿真、离散优化等),请补充说明具体需求!
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值