UVA10673 - Play with Floor and Ceil

本文介绍了一种解决特定数学问题的算法,当输入的整数x不能被整数k整除时,通过比例分解的方法找到两个整数p和q,使得x等于(p+q)乘以x/k的下取整加上q。文章提供了详细的解析过程和C++实现代码。

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链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1614

题解

k ∣ x k|x kx时,可以直接输出 p = k , q = 0 p=k,q=0 p=k,q=0
k ̸ ∣ x k\not | x k̸x时, ⌈ x k ⌉ = ⌊ x k ⌋ + 1 \lceil\frac{x}{k}\rceil=\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+1 kx=kx+1
所以 x = ( p + q ) ⌊ x k ⌋ + q x=(p+q)\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+q x=(p+q)kx+q
因为 x = k ⌊ x k ⌋ + ( x m o d    k ) x=k\lfloor\frac{x}{k}\rfloor+(x\mod k) x=kkx+(xmodk)
所以可以直接令 q = x m o d    k , p = k − q q=x\mod k,p=k-q q=xmodk,p=kq即可

代码

//数学休闲题
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
int main()
{
	ll N, K, T;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)scanf("%lld%lld",&N,&K), printf("%lld %lld\n",K-N%K,N%K);
	return 0;
}
### 关于Problem 2082B的解决方案 对于问题2082B,虽然未提供具体描述,但从提到的内容推测其可能涉及整数规划或离散优化中的某些特性。特别是与`floor`和`ceil`函数相关的场景通常出现在需要处理连续变量转化为离散决策的情况中。 #### FloorCeil 函数的应用背景 在许多优化问题中,尤其是那些涉及到资源分配、路径规划或其他具有离散性质的任务时,`floor`和`ceil`函数被用来实现数值向最近的整数转换。例如,在旅行商问题(M-TSP)[^3]以及多目标约束优化问题中[^1],这些函数可以用于调整解空间内的参数以满足特定条件。 假设我们正在研究一种类似于UVa Problem Solution: 10090 - Marbles 的情况[^2],其中存在如下形式的关系表达式: \[ m_1 = m_1' + \frac{n_2}{g} \cdot t, \quad m_2 = m_2' - \frac{n_1}{g} \cdot t \] 这里 \(t\) 是一个整型参数。为了使上述方程组成立并找到可行解,我们需要考虑如何通过适当选取\(t\)来确保最终结果符合实际需求——这正是引入`floor`或`ceil`操作的地方。 当面对更复杂的模型比如基于遗传算法(Genetic Algorithm)求解MTSP时[^4],也可能遇到类似的逻辑判断过程。此时可以通过定义合适的适应度函数(fitness function),结合取整运算符完成个体编码表示及其评价工作。 以下是利用Python实现的一个简单例子展示如何运用这两个基本数学工具辅助解决问题: ```python import math def apply_floor(value): """Apply floor operation.""" return math.floor(value) def apply_ceil(value): """Apply ceiling operation.""" return math.ceil(value) # Example usage demonstrating both functions side-by-side. example_values = [3.7, -1.2, 5.0, 4.3] floored_results = list(map(apply_floor, example_values)) ceiled_results = list(map(apply_ceil, example_values)) print("Original Values:", example_values) print("Floored Results:", floored_results) print("Ceiled Results :", ceiled_results) ``` 此脚本展示了针对一组浮点数分别执行向下取整(`floor`)与向上取整(`ceil`)后的效果对比。 --- ### 结论 综上所述,无论是在简单的代数关系还是高级别的组合最优化框架下,合理选用`floor`或`ceil`均能有效促进精确解答获取进程。然而需要注意的是,每种方法都有各自适用范围及局限性;因此建议依据具体情况灵活切换策略。
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