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最新推荐文章于 2018-10-25 10:14:17 发布

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分类专栏： # 数学杂题

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本文介绍了一种计算素数期望的高效算法，通过枚举素数并更新复合数的期望值，实现了小于O(nlog^2n)的时间复杂度。算法首先预处理得到每个数的素因数个数和不大于该数的素数个数，然后递推计算所有数的期望。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://odzkskevi.qnssl.com/b8a010f2f416b854e654ac56ba327f67?v=1537778253

题解

设 $c p (x)$ 为 $x$ 的素约数个数， $m a r k (x)$ ，为不大于 $x$ 的素数个数， $e (x)$ 为我要求的期望
那么
$e(x)=\left(\frac{1}{cp(x)}\sum_{i\in prime,i|x}e(i)\right)+\frac{mark(x)}{cp(x)}$
直接枚举 $i$ ，然后再枚举素数 $p r i m e (j)$ ，用 $e (i)$ 去更新 $e(i\times prime(j))$ 即可
复杂度小于 $O(n\log_2n)$

代码

//概率
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
using namespace std;
int mark[maxn], cp[maxn], prime[maxn];
double f[maxn];
void preprocess()
{
	int i, j;
	for(i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(!mark[i])prime[++*prime]=i, cp[i]=1;
		for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<maxn;j++)
		{
			mark[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				cp[i*prime[j]]=cp[i];
				break;
			}
			else cp[i*prime[j]]=cp[i]+1;
		}
	}
	for(i=2,mark[1]=1;i<maxn;i++)mark[i]+=mark[i-1];
	for(i=1;i<maxn;i++)mark[i]=i-mark[i];
	for(i=2;i<maxn;i++)
	{
		f[i]+=1.0*mark[i]/cp[i];
		for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<maxn;j++)f[i*prime[j]]+=f[i]/cp[i*prime[j]];
	}
}
int main()
{
	int T, kase=0, x;
	preprocess();
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&x);
		printf("Case %d: %.10lf\n",++kase,f[x]);
	}
	return 0;
}