2017理数全国卷I T21

题目

　　已知函数$f(x)=a^{2x}+(a-2)e^x-x$
　　(1)　讨论$f(x)$的单调性
　　(2)　若$f(x)$有两个零点，求$a$的取值范围

第一问

　　$f(x)=a^{2x}+(a-2)e^x-x$
　　$f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1$
　　令$t=e^x(t>0),\ g(t)=2at^2+(a-2)t-1=(at-1)(2t+1)$
　　零点是$t_1=\frac{1}{a},t_2=-\frac{1}{2}$(舍去)
　　(i)若$a\leq0$，则当$t>0$时，$f'(x)<0$恒成立，即$f(x)$单调递减
　　(ii)若$a>0$，
　　当$t\in(0,\frac{1}{a})$时，$g(t)<0$，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；
　　当$t\in(\frac{1}{a},+\infty)$时，$f(x)$单调递增。

　　没啥难的

第二问

　　由第一问的结论知道，如果$a\leq 0$，则函数单调递减，不可能有两个零点。
　　因此$a>0$
　　注意到函数的定义域是实数集，函数值是先递减后递增的，所以极小值（也就是最小值）肯定要小于$0$，而且在最小值的左右两侧都要有大于$0$的函数值存在。
　　上述条件的转化是充要的。
　　最小值也就是当$e^x=\frac{1}{a}$，$x=-\ln a$时，
　　$f(-\ln a)=1-\frac{1}{a}+\ln a<0$
　　这里可以求导也可以不求导，直接看出当$a=1$时函数值为$0$，当$0<a<1$时函数值小于$0$，当$a>1$时函数值大于零。
　　这样就得到一个范围$a\in(0,1)$
　　这样是不够的，应该还要确保$x=-lna$的左右两侧都有函数值为正数的点存在
　　对于左侧，$f(-1)=a^{-2}+(a-2)e^{-1}+1>-2e^{-1}+1>0$
　　对于右侧，$f(x)=a^{2x}+(a-2)e^x-x>-2e^x-x$，答案上比较玄学，得多看几遍才能搞明白它是咋想出来的
　　假如存在$x_0$使得，$f(x_0)>0$，稍微化一下式子，$e^{x_0}(2ae^{x_0}+a-2)-x_0>0$
　　你想让这个思博式子大于零，我反正看不出怎么直接找到$x_0$。
　　然后就想啊，能不能放缩一下放缩成比较好观察的式子
　　如果括号里那一大串大于$1$，那么$e^{x_0}-x_0>0$这个式子就比较美丽。随便令$x_0$等于一个大于$1$的数带进去都能成立。
　　所以需要找到$2ae^{x_0}+a-2>1$成立的条件。
　　显然，$x_0>\ln (-\frac{1}{2}+\frac{1}{a})$就可以，因为$\ln (-\frac{1}{2}+\frac{1}{a})$是个常数，所以这样的$x_0$一定存在。
　　写过程的话，可以直接令$x_0>max\{-lna,\ln (-\frac{1}{2}+\frac{1}{a})\}$，然后进行上面的那一串推导就行了。
　　因此答案是$a\in(0,1)$

总结

　　第二问的最后那个地方比较烧脑，前面的应该都比较自然而然。