2017 理数全国卷IIIT21

首语

　　今天我要杀鸡（数学题题解），杀鸡当然要用牛刀（LaTeX）了。
　　其实就是好久没打字了来爽一爽。

原题

　　已知函数$f(x)=x-1-alnx$.
　　(1)　若$f(x)\geq 0$，求$a$.
　　(2)　设$m$为正整数，且对于任意正整数$n$，$\prod_{i=1}^n\left (1+\frac{1}{2^i}\right )<m$，求$m$的最小值.

题解

　　第一问，一开始用错误的方法做对了。
　　很显然$f(1)=0$，若要求这个函数恒大于$0$，我把它错误的等价为小于$0$时减，大于$0$时增，结果恰好做对了。。。
　　正确方法应该是这样的：
　　求导$f'(x)=1-\frac{a}{x}$
　　令$f'(x)<0$得$0<x<a$，
　　令$f'(x)>0$得$x>a$
　　因为定义域是$x>0$，所以$x>a$是显然合法的；这时需要讨论$0$和$a$的大小。
　　若$a\leq 0$，则在定义域内$f'(x)\geq 0$恒成立，这时位于$x=1$左侧的函数值就小于$0$了，显然这种情况应该舍去，即$a$必定大于$0$。
　　由于$a>0$，所以当$0<a<0$时$f(x)$单调递减，当$x>a$时$f(x)$单调增，即$f(a)$是最小值。
　　它要求恒大于等于$0$，即$f(x)_{min}=f(a)\geq 0$。
　　到了这里不要想当然地去解，注意到$f(1)=0$，既然函数上已经存在一个值等于$0$的点，又要求这个函数恒大于$0$，这个函数又是$v$字形，结合以上，显然就可以知道$a=1$。
　　所以第一问就可以显然出来$a=1$。

　　第二问，不会做，看的答案。
　　一眼看上去，和第一问没啥关系。。。笨蛋的我就是这么想的
　　其实，用上第一问的结论就很容易做了。
　　看到要证的东西是一些乘积，要让它小于一个定值。
　　之前做过很多题目，让你证明一个和式小于某个常数。这种题目大多是构造等比数列，用上求和公式，有时候还需要放缩放缩啥的。
　　是这样的，连乘想要转化成和式，有一个比较高级的套路，就是取$\log$，哇好高级啊。
　　取了$log$之后变成这个样子，为了后面方便就取自然对数吧。
　　

$$\sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac{1}{2^n}\right)<\ln m$$
　　做到这里我就不会了。
　　答案上是这个样子：
　　令$x=\left(1+\frac{1}{2^n}\right)$，则$(1)$中的式子变成$\frac{1}{2^n}-\ln\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\geq 0$。
　　一变形：
　　 $$\ln\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\leq\frac{1}{2^n}$$
　　就出来了。
　　后面就不用说了，就是从$n=1$开始写出一大串式子来，中间用省略号，一直排到$n$个不等式。
　　将这$n$个不等式相加，得到
　　 $$\sum_{i=1}^n\ln\left(1+\frac{1}{2^n}\right)\leq 1-\frac{1}{2^n}$$
　　也就是说对于任意的$n\in N_+$，都有$1-\frac{1}{2^n}\leq \ln m$。
　　即$m\geq e$，因为$m$是整数，所以$m$应当取$3$。
　　这一问的答案是$m_{min}=3$。

其它

　　其实吧，我个人觉得第二问有点牵强，答案中$m=3$确实有理有据，但是答案中并没有证明$m$更小的时候不行。
　　当$m=2$时，令$n=3$，左边$=\frac{135}{64}>m$。
　　当$m=1$时，令$n=1$，左边$=\frac{3}{2}>m$。
　　这样就OK了。