2017 理数全国卷IIIT21

本文通过两道数学题的解答过程,介绍了如何利用LaTeX进行数学表达式的排版。第一题涉及函数的最值求解,得出参数a的具体值;第二题则通过构造不等式证明了特定乘积序列的上界。

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首语

  今天我要杀(数学题题解),杀鸡当然要用牛刀(LaTeX)了。
  其实就是好久没打字了来爽一爽。

原题

  已知函数f(x)=x1alnx.
  (1) 若f(x)0,求a.
  (2) 设m为正整数,且对于任意正整数nni=1(1+12i)<m,求m的最小值.

题解

  第一问,一开始用错误的方法做对了。
  很显然f(1)=0,若要求这个函数恒大于0,我把它错误的等价为小于0时减,大于0时增,结果恰好做对了。。。
  正确方法应该是这样的:
  求导f(x)=1ax
  令f(x)<00<x<a
  令f(x)>0x>a
  因为定义域是x>0,所以x>a是显然合法的;这时需要讨论0a的大小。
  若a0,则在定义域内f(x)0恒成立,这时位于x=1左侧的函数值就小于0了,显然这种情况应该舍去,即a必定大于0
  由于a>0,所以当0<a<0f(x)单调递减,当x>af(x)单调增,即f(a)是最小值。
  它要求恒大于等于0,即f(x)min=f(a)0
  到了这里不要想当然地去解,注意到f(1)=0,既然函数上已经存在一个值等于0的点,又要求这个函数恒大于0,这个函数又是v字形,结合以上,显然就可以知道a=1
  所以第一问就可以显然出来a=1

  第二问,不会做,看的答案。
  一眼看上去,和第一问没啥关系。。。笨蛋的我就是这么想的
  其实,用上第一问的结论就很容易做了。
  看到要证的东西是一些乘积,要让它小于一个定值。
  之前做过很多题目,让你证明一个和式小于某个常数。这种题目大多是构造等比数列,用上求和公式,有时候还需要放缩放缩啥的。
  是这样的,连乘想要转化成和式,有一个比较高级的套路,就是取log哇好高级啊
  取了log之后变成这个样子,为了后面方便就取自然对数吧。
  

i=1nln(1+12n)<lnm

  做到这里我就不会了。
  答案上是这个样子:
  令x=(1+12n),则(1)中的式子变成12nln(1+12n)0
  一变形:
  
ln(1+12n)12n

  就出来了。
  后面就不用说了,就是从n=1开始写出一大串式子来,中间用省略号,一直排到n个不等式。
  将这n个不等式相加,得到
  
i=1nln(1+12n)112n

  也就是说对于任意的nN+,都有112nlnm
  即me,因为m是整数,所以m应当取3
  这一问的答案是mmin=3

其它

  其实吧,我个人觉得第二问有点牵强,答案中m=3确实有理有据,但是答案中并没有证明m更小的时候不行。
  当m=2时,令n=3,左边=13564>m
  当m=1时,令n=1,左边=32>m
  这样就OK了。

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