首语
今天我要杀鸡(数学题题解),杀鸡当然要用牛刀(LaTeX)了。
其实就是好久没打字了来爽一爽。
原题
已知函数f(x)=x−1−alnx.
(1) 若f(x)≥0,求a.
(2) 设
题解
第一问,一开始用错误的方法做对了。
很显然
正确方法应该是这样的:
求导
令f′(x)<0得0<x<a,
令f′(x)>0得x>a
因为定义域是x>0,所以x>a是显然合法的;这时需要讨论0和
若a≤0,则在定义域内f′(x)≥0恒成立,这时位于x=1左侧的函数值就小于0了,显然这种情况应该舍去,即
由于
它要求恒大于等于0,即
到了这里不要想当然地去解,注意到f(1)=0,既然函数上已经存在一个值等于0的点,又要求这个函数恒大于
所以第一问就可以显然出来a=1。
第二问,不会做,看的答案。
一眼看上去,和第一问没啥关系。。。笨蛋的我就是这么想的
其实,用上第一问的结论就很容易做了。
看到要证的东西是一些乘积,要让它小于一个定值。
之前做过很多题目,让你证明一个和式小于某个常数。这种题目大多是构造等比数列,用上求和公式,有时候还需要放缩放缩啥的。
是这样的,连乘想要转化成和式,有一个比较高级的套路,就是取log,哇好高级啊。
取了log之后变成这个样子,为了后面方便就取自然对数吧。
做到这里我就不会了。
答案上是这个样子:
令x=(1+12n),则(1)中的式子变成12n−ln(1+12n)≥0。
一变形:
就出来了。
后面就不用说了,就是从n=1开始写出一大串式子来,中间用省略号,一直排到n个不等式。
将这
也就是说对于任意的n∈N+,都有1−12n≤lnm。
即m≥e,因为m是整数,所以
这一问的答案是
其它
其实吧,我个人觉得第二问有点牵强,答案中m=3确实有理有据,但是答案中并没有证明m更小的时候不行。
当
当m=1时,令n=1,左边=32>m。
这样就OK了。