luogu2053 [SCOI2007]修车

最新推荐文章于 2021-10-16 17:56:38 发布

*ACoder*

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分类专栏： # 费用流

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本文介绍了一种使用最小费用最大流算法解决洛谷2053问题的方法。通过对每个修理工进行拆分，并建立一个费用流图，利用SPFA算法找到增广路径，最终求得最小化的时间之和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

　　https://www.luogu.org/problem/show?pid=2053

题解

　　这是一道神奇的题目。
　　首先明确我们要最小化时间之和。
　　假如有一个修理工面前排了k个人，这k个人的时间分别为 $t_1，t_2，t_3...t_k$ 那么可以算出这个修理工面前所有人对答案的贡献为 $t_1+(t_1+t_2)+(t_1+t_2+t_3)+(t_1+t_2+t_3+...+t_k)=1t_k+2t_{k-1}+...+（k-1）t_2+kt_1$
　　由于修理工一次只能修一个，所以修理工修的每种系数的车只有一个，也就是说修理工有最多N个系数，要加给一些车，然后问你最小的权值之和是多少。
　　现在把each修理工拆成N个， $V_{ij}$ 这个点表示的是修理工i修的倒数第j辆车是哪辆，那么从 $V_{ij}$ 向每辆车连边，权值为 $j\times t_{ik}$ （k表示哪辆车），为了保证一辆车只被修一次，再由每辆车向 $T$ 连一条 $c=1，w=0$ 的边，最后 $S$ 向所有的 $V_{ij}$ 连一条容量为1的边。
　　跑最小费用最大流。

代码

//费用流
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#define maxn 100000
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int head[maxn], next[maxn], c[maxn], w[maxn], tot=1, to[maxn], d[maxn], cost, N, M,
    tim[100][100], S, T, in[maxn], pre[maxn];
queue<int> q;
void adde(int a, int b, int cc, int ww)
{to[++tot]=b;c[tot]=cc;w[tot]=ww;next[tot]=head[a];head[a]=tot;}
void adde2(int a, int b, int cc, int ww)
{adde(a,b,cc,ww);adde(b,a,0,-ww);}
bool spfa()
{
    int p, x, i;
    for(i=1;i<=T;i++)d[i]=inf;
    in[S]=1, q.push(S), d[S]=0;
    while(!q.empty())
    {
        x=q.front(),q.pop();
        for(p=head[x];p;p=next[p])
            if(c[p] and d[to[p]]>d[x]+w[p])
            {
                d[to[p]]=d[x]+w[p];
                pre[to[p]]=p;
                if(!in[to[p]])in[to[p]]=1, q.push(to[p]);
            }
        in[x]=0;
    }
    return d[T]!=inf;
}
int augment()
{
    int x, f=inf;
    for(x=T;x!=S;x=to[pre[x] xor 1])f=min(f,c[pre[x]]);
    for(x=T;x!=S;x=to[pre[x] xor 1])c[pre[x]]-=f, c[pre[x] xor 1]+=f;
    cost+=f*d[T];
    return f;
}
int table(int i, int j){return N+(i-1)*N+j;}
void build()
{
    int i, j, k;
    scanf("%d%d",&M,&N);
    S=N+M*N+10, T=S+1;
    for(i=1;i<=N;i++)for(j=1;j<=M;j++)scanf("%d",tim[j]+i);
    for(i=1;i<=N;i++)adde2(i,T,1,0);
    for(i=1;i<=M;i++)for(j=1;j<=N;j++)
    {
        adde2(S,table(i,j),1,0);
        for(k=1;k<=N;k++)adde2(table(i,j),k,1,j*tim[i][k]);
    }
}
int main()
{
    int flow=0;
    build();
    while(spfa())flow+=augment();
    printf("%.2lf",1.0*cost/N);
    return 0;
}