NOIP2009Hankson的趣味题

最新推荐文章于 2024-02-08 14:01:21 发布

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本文解析了NOIP2009Hankson趣味题的求解思路与算法实现，通过分解质因数的方法，结合最大公约数与最小公倍数的性质，采用递归搜索来找出所有符合条件的正整数x。

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NOIP2009Hankson的趣味题数论+搜索

题目描述 Description

Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现
在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。
今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现
在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公
倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整
数x 满足：
1． x 和a0 的最大公约数是a1；
2． x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的
x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮
助他编程求解这个问题。

输入描述 Input Description

第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每
行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入
数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出描述 Output Description

每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；
若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例输入 Sample Input

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

样例输出 Sample Output

6
2

数据范围及提示 Data Size & Hint

【说明】
第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。
第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。
【数据范围】
对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

一开始我以为是数论题，就在那里推，推了一节课，推出些很麻烦的东西，虽然时间效率会很高，但是代码太复杂了，果断放弃。然后查了那一年的联赛题，发现这只是个第二题(共四个题)，我就对我的算法有点怀疑，后来又查了题解，发现根本不用那么麻烦，稍微加一点数论，缩小一下范围，然后搜索就行了。归根结底，还是没有算好时间复杂度。常言道，不作死就不会死。有时候一些明明很水的题，你非要把它做麻烦话，一点好处也没有，比如去年NOIP无线网络那道题，大部分人用模拟就过了，可是有人却用树状数组，结果只得60。所以说赛场上有一条原则，就是编程复杂度优先，越小越好，能擦边过就行了，不要再加一些太高级的优化，否则只能是赘余。

步入正题：

分解质因数:

a1=p1^u1*p2^u2*...*p_tot^u_tot,

b1=p1^v1*p2^v2*...*p_tot^v_tot

因为gcd(x,a0)=a1， lcm(x,b0)=b1，

所以x=p1^(u1 to u2)*...*p^(u_tot to v_tot)

所以就可以枚举质因数和它的指数，然后用欧几里得判断是否满足条件就行了

代码：

<span style="font-family:Courier New;">//NOIP2009 Hankson的趣味题 搜索 
#include <cstdio>

using namespace std;

int tot, f[500], p1[500], p2[500], N, a0, a1, b0, b1, count;

int gcd(int a, int b)
{
	if(a%b==0)return b;
	else return gcd(b,a%b);
}

int lcm(int a, int b)
{
	return a/gcd(a,b)*b;
}

void fen()
{
	int t, x, i, j;
	t=b1;
	x=2;
	while(t>1 && x*x<=b1)
	{
		if(t%x==0)
		{
			f[++tot]=x;
			p1[tot]=0;
		}
		while(t%x==0)
		{
			p1[tot]++;
			t/=x;
		}
		x++;
	}
	if(t>1)
		f[++tot]=t, p1[tot]=1;
	t=a1;
	for(i=1;i<=tot;i++)
	{
		p2[i]=0;
		while(t%f[i]==0)
		{
			p2[i]++;
			t/=f[i];
		}
	}
}

void dfs(int deep, int x)
{
	if(deep>tot)
	{
		if(lcm(x,b0)==b1 && gcd(x,a0)==a1)count++;
		return;
	}
	int i, j;
	for(i=1;i<=p2[deep];i++)x*=f[deep];
	for(i=p2[deep];i<=p1[deep];i++)
	{
		dfs(deep+1,x);
		x*=f[deep];
	}
}

int main()
{
	int i;
	scanf("%d",&N);
	for(i=1;i<=N;i++)
	{
		scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
		if(b1%a1!=0)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		count=0;
		tot=0;
		fen();
		dfs(1,1);
		printf("%d\n",count);
	}
	return 0;
}</span>