背包求具体方案（南昌理工学院暑假集训队）

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01背包
01背包具体方案

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前言

今天呢，写的是暑假集训的第一次博客，本蒟蒻学识浅薄，还望对观者有帮助呀！
今天讲的是背包问题的具体方案，也就是说01背包最优解的商品编号！那么要讲具体方案，就先来复习一下01背包吧，然后再来谈具体方案，嗯！开始吧

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一、什么是01背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

二、01背包思路

1.解题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。“每件物品只能使用一次”，然后求怎么装这些物品，使得不超过v的情况下，价值达到最大。在这里呢，首先第一步就是设置背包状态，用一个二维数组f[i][j]表示前i件商品中，在不超过j体积下的最大价值！
当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 ii 个物品最优解即为前 i−1i−1 个物品最优解：
对应代码：f[i][j] = f[i - 1][j]。
（3）当前背包容量够，可以选，因此需要决策选与不选第 ii 个物品：
选：f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]。
不选：f[i][j] = f[i - 1][j] 。
我们的决策是如何取到最大价值，因此以上两种情况取 max() 。

 for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，那么价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];// 选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

2.代码实现

代码如下：

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，那么价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];// 选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

三、01背包求具体方案

1.解题

题目链接
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
1 4

跟01背包的不同呢，就是这一题求的是最优解的具体方案！而且还要字典序输出！

第一步呢，跟01背包一样，设置状态f[i][j]为从1~n中选不超过j体积的所有选法，为最大值。然后记录所有的选法，最后再输出符合的选法就ok了，具体上代码讲！

2.代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;//本题int，longlong都一样，习惯用longlong
ll n, m;
const int N = 1100;//设置范围
ll f[N][N];
ll v[N],w[N];
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> v[i] >> w[i];
	for (int i = n; i >= 1; i--)//在这里为什么要逆序呢？原因在于当前的状态由于后面一种状态来确定的，所有这里逆序找出所有的选法
	{
		for (int j = 0; j <= m; j++)//从小到大和大到小一样，这里二维不压缩
		{
			f[i][j] = f[i + 1][j];
			if (j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);//符合条件的选法
		}
	}
	ll i = 1, j = m;
	while (i <= n) {//正向找出解
		if (j >= v[i] && f[i + 1][j - v[i]] + w[i] >= f[i + 1][j]) {
			cout << i << " ";
			j -= v[i];i++;//输出完记得减去对应的体积
		}
		else i++;
	}
	return 0;
}