c++算法 枚举———百钱白鸡问题

前言

枚举，是一种最基本的算法思想，通过穷举枚举出所有的可能，再加以比较。

枚举算法适用于问题规模较小、解空间可穷举的情况。它的优点是简单直观，不需要复杂的数学推导，易于实现。但是，对于问题规模较大的情况，枚举算法的时间复杂度可能会非常高，效率较低。

接下来会介绍两个百钱白鸡的经典问题，解释枚举算法的意义。

题目示例

示例1：百钱白鸡1

题目描述

中国数学家张邱建（公元五世纪，其它资料不详）在他的《算经》中提出了著名的“百钱买百鸡”问题：

鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。

百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？

你的任务：输出所有可行的方案。

输入格式

无

输出格式

输出共有若干行：

每行三个整数，相互之间用1个空格隔开，依次为公鸡、母鸡、小鸡的数量。

所有方案，第一优先级按公鸡的数量从小到大排列。

样例 

样例输入 #1

（无）

样例输出 #1

（无）

方法1：

推荐指数：⭐

先按照暴力枚举的方法写一个三重循环（位置数有三个，所以是三重循环）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define in int
using namespace std;
in main() 
{
	for(in i=0;i<=100;i++)
    {
    	for(in j=0;j<=100;j++)
    	{
    		for(in k=0;k<=100;k++)
    		{
    			//从所有可能解中找可行解
    			//常数写前面 
				if(k%3==0&&100==i+j+k&&100==i*5+j*3+k/3) 
				{
					cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<endl;
				}
			}
		}
	}
    return 0;
}

提交上去，会发现TLE爆了0分

所以，我们还需要简化：

方法2：

推荐指数：⭐⭐

我们可以进行枚举范围的缩减，也就是for循环范围的缩减。根据等式

公鸡+母鸡+小鸡=100

可得出以下范围：

公鸡：0~20
母鸡：0~33
小鸡：0~100//最多买到300只，但题目只让买100只

缩减后代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define in int
using namespace std;
in main() 
{
    for(in i=0;i<=20;i++)
    {
    	for(in j=0;j<=33;j++)
    	{
    		for(in k=0;k<=100;k++)
    		{
				if(k%3==0&&100==i+j+k&&100==i*5+j*3+k/3) 
				{
					cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<endl;
				}
			}
		}
	}
    return 0;
}

成功AC了，但是还可以进一步简化：

方法3：

推荐指数：⭐⭐⭐⭐

三种鸡加起来=100，知二求一，可以省去最内层（其他两层也可以）的求小鸡的循环，通过

100-公鸡-母鸡=小鸡

的等式求出小鸡。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define in int
using namespace std;
in main() 
{
    for(in i=0;i<=20;i++)
    {
    	for(in j=0;j<=33;j++)
    	{
    		int k=100-i-j; //小鸡
    		if(k%3==0&&100==i+j+k&&100==i*5+j*3+k/3) 
			{
				cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<endl;
			}
		}
	}
    return 0;
}

以上是最优方法

示例2：百钱白鸡2

题目描述

中国数学家张邱建（公元五世纪，其它资料不详），在他的《算经》中提出了著名的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？

你的任务是：根据给定的钱数 m，和买到的鸡数 n ，输出所有的方案。如果没有可行方案，输出 None 。

输入格式

只有两个整数 m,n(0<m,n<10000)

输出格式

若干行，每行 3 个数，表示一种可行方案，分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的数量。

样例 #1

样例输入 #1

100 100

样例输出 #1

0 25 75
4 18 78
8 11 81
12 4 84

样例输入 #2

100 10

样例输出 #2

None

 跟百钱白鸡1差不多，只不过加了输入输出。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define in int
#define bl bool
using namespace std;
in main()
{
	in m,n;
	bl f=0;
	cin>>m>>n;
	for(in i=0;i<=n;i++)
	{
		for(in j=0;j<=n;j++)
		{
			in k=n-i-j;
			if(k%3==0&&n==i+j+k&&m==i*5+j*3+k/3) 
			{
				cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<endl;
				f=1;
			}
		}
	}
	if(f==0)
	{
		cout<<"None";
	}
    return 0;
}

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