归并排序,分治思想

merge函数将两列有序序列合成一列。

merge_sort 函数使用分治思想,递归求解。将对一个序列排序转换成对左右两个序列排序,一直到序列长度为一时,递归开始回升。再将左右两个已经排好序的序列合并。

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//  main.cpp
//  merge_sort
//
//  Created by Fangpin on 15/3/9.
//  Copyright (c) 2015年 FangPin. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <cstdio>
const int MAXN=1e10;
int a[20006],b[20005],c[20005];
void merge(int p,int q,int r){
    int j=0;
    for(int i=p;i<=q;++i) b[j++]=a[i];
    b[j]=MAXN;j=0;
    for(int i=q+1;i<=r;++i) c[j++]=a[i];
    c[j]=MAXN;j=0;
    int k=0;
    for(int i=p;i<=r;++i){
        if(b[j]<=c[k])
            a[i]=b[j++];
        else a[i]=c[k++];
    }
}

void merge_sort(int l,int r){
    if(l>=r) return;
    int m=(l+r)>>1;
    merge_sort(l,m);
    merge_sort(m+1,r);
    merge(l,m,r);
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=0;i<n;++i){
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        merge_sort(0,n-1);
        for(int i=0;i<n;++i){
            if(i) printf(" ");
            printf("%d",a[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}


<think>好的,我现在要解答用户关于归并排序分治算法思想及实现步骤的问题。首先,我需要回顾归并排序的基本概念,确保自己理解正确。归并排序分治法的典型应用,分治法的核心思想是将大问题分解成小问题,解决小问题后再合并结果。 用户提到分治算法思想,我需要明确分治的三个步骤:分解、解决、合并。归并排序的分解阶段是将数组分成两半,递归地对子数组进行排序,最后合并已排序的子数组。要详细说明每个步骤的具体操作,比如分解到何时停止(即子数组长度为1时),合并时如何比较元素并合并成有序数组。 接下来,实现步骤部分需要分点说明。可能包括递归分解、合并操作的具体过程,比如如何将两个有序数组合并成一个。这里需要确保逻辑清晰,步骤正确。例如,在合并时使用双指针法,逐个比较元素,将较小的放入结果数组,直到所有元素合并完成。 还要考虑是否需要代码示例,用户提供的引用中有Python和Java的例子,但用户问题可能更关注思想而非具体代码。不过,适当的伪代码或代码片段可能有助于理解。例如,引用中的MergeSort函数展示了递归分解和合并的过程,可以引用说明。 另外,需要结合用户提供的引用内容,确保回答中的引用标识正确。例如,分治法的基本概念在引用[2]和[5]中有提到,归并排序的具体实现步骤在引用[4]中有代码示例,性能分析可能涉及引用[4]中的内容。 最后,生成相关问题时要围绕归并排序分治法的扩展,比如性能分析、优化方法、应用场景等,确保问题与主题相关且有参考价值。例如,时间复杂度、空间复杂度分析,如何优化归并排序的空间使用,或者与其他排序算法的比较等。 需要检查是否有遗漏的分治步骤,或者合并过程中的关键点没有说明清楚。例如,分解到最小单位后的处理方式,以及合并时的稳定性问题。同时,确保所有数学表达式和公式按照要求使用正确的LaTeX格式,如时间复杂度用$O(n \log n)$表示。 总结思考过程,确保回答结构清晰,分点明确,引用正确,并符合用户要求的格式和内容。</think>### 归并排序分治算法思想与实现步骤 #### 一、分治算法思想 归并排序分治算法(Divide and Conquer)的经典应用,其核心思想可概括为以下三步: 1. **分解(Divide)**:将待排序数组递归地划分为两个规模相近的子数组,直到子数组长度为1(此时单个元素天然有序)[^2][^5]。 2. **解决(Conquer)**:对每个子数组递归地进行排序(若子数组长度大于1,则继续分解)。 3. **合并(Merge)**:将两个已排序的子数组合并为一个有序数组,最终得到完整的有序序列[^3][^4]。 分治策略的关键在于**子问题与原问题形式相同但规模更小**,且子问题之间相互独立[^5]。 --- #### 二、实现步骤详解 1. **递归分解** - 初始数组为$arr[low, high]$,计算中点$mid = \lfloor (low + high)/2 \rfloor$。 - 递归分解左半部分$arr[low, mid]$和右半部分$arr[mid+1, high]$,直到子数组长度为1。 2. **合并操作(关键步骤)** - 创建临时数组存储合并结果。 - 使用双指针分别遍历左右子数组,比较当前元素大小,将较小的元素加入临时数组。 - 若某一子数组遍历完毕,将另一子数组剩余元素直接追加到临时数组。 - 将临时数组复制回原数组的对应位置。 #### 三、时间复杂度分析 - 分解过程的时间复杂度为$O(\log n)$(递归树高度)。 - 合并操作每次需遍历所有元素,时间复杂度为$O(n)$。 - 总时间复杂度为$O(n \log n)$,且无论数据是否有序,性能稳定[^4]。 --- #### 四、代码示例(Python实现) ```python def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr mid = len(arr) // 2 left = merge_sort(arr[:mid]) right = merge_sort(arr[mid:]) return merge(left, right) def merge(left, right): result = [] i = j = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]: result.append(left[i]) i += 1 else: result.append(right[j]) j += 1 result += left[i:] result += right[j:] return result ``` ---
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