斐波那契堆

斐波那契堆有两种用途。第一种，斐波那契堆支持一系列操作，这些操作构成了“可合并堆”。第二种，斐波那契堆的一些操作可以在常数时间（摊还）内完成，使得这些数据结构非常适合用于频繁调用这些操作。

可合并堆可以实现以下操作：

1. $\text{MAKE-HEAP}()$：创建一个新的可合并堆，堆中不含任何元素。
2. $\text{INSERT}(H,x)$：在可合并堆 $H$ 中插入 $x$。
3. $\text{MININUM}(H)$：返回堆 $H$ 中的最小元素。
4. $\text{EXTRACT-MIN}(H)$：删除堆 $H$ 中的最小元素。
5. $\text{UNION}(H_1,H_2)$：合并堆 $H_1$ 和 $H_2$，并销毁堆 $H_1,H_2$。

斐波那契堆还支持以下两种操作：

1. $\text{DECREASE-KEY}(H,x,k)$：在斐波那契堆 $H$ 中，修改 $x$ 的关键字为 $k$，其中 $k$ 需要小于 $x$ 的原关键字。
2. $\text{DELETE}(H,x)$ 从堆 $H$ 中删除元素 $x$。

斐波那契堆和二叉堆的时间复杂度如下表所示：

操作	斐波那契堆（摊还）	二叉堆（最坏）
MAKE-HEAP	$O(1)$	$O(1)$
INSERT	$O(1)$	$O(\lg n)$
MININUM	$O(1)$	$O(1)$
EXTRACT-MIN	$O(\lg n)$	$O(\lg n)$
UNION	$O(1)$	$O(n)$
DECREASE-KEY	$O(1)$	$O(\lg n)$
DELETE	$O(\lg n)$	$O(\lg n)$

当 $\text{EXTRACT-MIN}$ 和 $\text{DELETE}$ 操作数量比其他操作操作数量要小很多的时候，斐波那契堆尤其适用。

很多算法（例如最短路，最小生成树）中，对于很多边稠密图，每条边都调用 $\text{DECREASE-KEY}$，从二叉堆的 $O(\lg n)$，到 $O(1)$ 是一个很大的改进。

所以像最短路这些算法，有些是可以用斐波那契堆加速的。

斐波那契堆

斐波那契堆是一些具有最小堆序的有根树的集合。（一大堆最小堆的集合）

每个节点 $x$ 包含一个指向父亲的指针（可以用数组 $father[x]$，但指针可能好理解点） $x.p$ 和指向他某个孩子（以后会知道有什么用）$x.child$。

$x$ 的所有孩子被链接的成一个环形双向链表，称这个链表为 $x$ 的孩子链表，$x$ 的一个孩子 $y$ 有两个指针 $y.left$，$y.right$ 分别指向左右兄弟。当 $y$ 是仅有的孩子的时候，$y.left=y.right=y$。

环形双向链表应用在斐波那契堆中，组要有两个原因：

1. 可以在 $O(1)$ 的时间内从任意位置插入或删除一个节点
2. 可以在 $O(1)$ 时间内合并两个环形双向链表。

斐波那契堆中每个节点 $x$，$x.degree$（$x$ 的度）表示节点 $x$ 的孩子链表的大小（孩子的数量）。布尔值 $x.mark$ 表示节点 $x$ 在最近一次成为另一个节点的孩子后，有没有失去过孩子（还是一样的，后面就知道用途了）。

斐波那契堆 $H$ 中，$H.min$ 是一个指向斐波那契堆的具有最小关键字的节点的指针，我们将这个节点称为最小节点，如果斐波那契堆中没有节点，$H.min=\text{NIL}$，$H.n$ 表示当前斐波那契堆中节点个数。

斐波那契堆中，所有树的根都用 $left$，$right$ 链成环形双向链表，这个链表被称为斐波那契堆的根链表。因此，指针 $H.min$ 指向根链表中关键字最小的节点，根链表中的树次序可以任意。

势函数

我们将用势函数的方法来分析斐波那契堆的操作性能，对于一个斐波那契堆 $H$，$t(H)$ 表示 $H$ 的根链表的元素个数，用 $m(H)$ 表示 $H$ 中已经标记的节点（$x.mark$ 为 $true$ 的节点）的数目。

则斐波那契堆 $H$ 的势函数 $\Phi (H)$ 如下：
$$\Phi (H)=t(H)+2m(H)$$

最大度数

可合并堆操作

斐波那契堆上的一些可合并堆操作要尽可能长的延后执行。不同的操作可以进行性能平衡。

例如：如果从空的斐波那契堆开始，连续插入 $k$ 个节点，这时候斐波那契堆是一个包含 $k$ 个节点的环形双向链表。我们在斐波那契堆 $H$ 上执行 $\text{EXTRACT-MIN}$ 操作，移除 $H.min$ 后，我们还需要 $O(k-1)$ 的时间去遍历根链表寻找 $H.min$。下面将看到，我们可以在执行 $\text{EXTRACT-MIN}$ 之后，合并一些树以减小根链表规模。

创建一个新斐波那契堆

$\text{MAKE-FIB-NEAP}$ 过程分配并返回一个斐波那契堆 $H$，其中 $H.n=0$ 和 $H.min=\text{HIL}$，$H$ 中不存在树，$t(H)=m(H)=\Phi (H)=0$。

插入一个节点

下面伪代码将节点 x 插入斐波那契堆 $H$ 中，假设该节点已经被分配，$x.key$ 已经被赋值。

FIB_HEAP_INSERT(H,x)
x.degree = 0//初始化x属性
x.p = NIL
x.child = NIL
x.mark = FALSE
if H.min == NIL//检测H是否为空
	create a root list for H containing just x
	H.min = x//使x称为H根链表中唯一节点，将H.min指向x
else insert x into H's root list
	if x.key < H.min.key
		H.min = x//更新H.min
H.n = H.n + 1

为确定 $\text{FIB-HEAP-INSERT}$ 的摊还代价，设 $H$ 是输入的斐波那契堆，$H^{\prime }$ 是结果斐波那契堆。那么 $t(H^{\prime })=t(H)+1$ 和 $m(H^{\prime })=m(H)$，并且势的增加量为

$$((t(H)+1)+2m(H))-(t(H)+2m(H))=1$$

由于实际代价为 $O(1)$，因此摊还代价为 $O(1)+1=O(1)$。

寻找最小节点

斐波那契堆的最小节点可以直接通过指针 $H.min$ 得到。由于 $\Phi (H)$ 没有变化，所有时间复杂度为 $O(1)$

合并斐波那契堆

下面伪代码合并斐波那契堆 $H_1$ 和 $H_2$，并在该过程中销毁 $H_1$ 和 $H_2$。它简单的连接 $H_1$ 和 $H_2$ 的根链表的连接，任何确定新最小节点。

FIB_HEAP_UNION(H1,H2)
H = MAKE_FIB_HEAP() 
H.min = H1.min
concatenate the root list of H2 with the root list of H //链接H1,H2根链表
if(H1.min == NIL) or (H2.min != NIL ans H2.min.key < H1.min.key)
	H.min = H2.min //设定最小节点
H.n = H1.n + H2.n //计算H.n
return H//返回斐波那契堆H

势函数变化为：
$$\Phi (H)-(\Phi (H_1)+\Phi (H_2))=(t(H)+2m(H))-((t(H_1)+2m(H_1))+(t(H_2)+2m(H_2))=0$$
所有 $\text{FIB-HEAP-UNION}$ 的摊还代价等于实际代价 $O(1)$。

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部分参考于：
《算法导论》第19章 - 斐波那契堆