【算法】二进制求和

给定两个二进制字符串,返回他们的和(用二进制表示)。

输入为非空字符串且只包含数字 1 和 0

示例 1:

输入: a = "11", b = "1"
输出: "100"

示例 2:

输入: a = "1010", b = "1011"
输出: "10101"
public class AddBinary {
    public static void main(String[] args) {
        String a = "1010";
        String b = "1011";
        String result = addBinary2(a, b);
        System.out.println(result);
    }

    /**
     * 方法一:正向求解
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static String addBinary1(String a, String b) {
        //若字符串a的长度小于b的长度,两个字符串交换
        if (a.length() < b.length()){
            String temp = a;
            a = b;
            b = temp;
        }
        int lengthA = a.length() - 1;
        int lengthB = b.length() - 1;
        //进位
        int carries = 0;
        String result = "";
        //先根据短字符串的长度依次计算
        while (lengthB >= 0){
            //减去'0'防止字符强转成int时值发生变化  例如'1'转换成int类型就变成49了
            int sum = (a.charAt(lengthA) - '0') + (b.charAt(lengthB) - '0') + carries;
            result = String.valueOf(sum % 2) + result;
            carries = sum / 2;
            lengthA--;
            lengthB--;
        }
        //再根据长字符串的长度一次计算
        while (lengthA >= 0){
            int sum = (a.charAt(lengthA) - '0') + carries;
            result = String.valueOf(sum % 2) + result;
            carries = sum / 2;
            lengthA--;
        }
        if (carries == 1){
            result = "1" + result;
        }
        return result;
    }

    /**
     * 方法二:反转
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static String addBinary2(String a, String b) {
        int lenA = a.length() - 1;
        int lenB = b.length() - 1;
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        //进位
        int carries = 0;
        while (lenA >= 0 || lenB >= 0){
            int x = (lenA >= 0)?a.charAt(lenA) - '0':0;
            int y = (lenB >= 0)?b.charAt(lenB) - '0':0;
            int sum = x + y;
            carries = sum / 2;
            sb.append(sum % 2);
            lenA--;
            lenB--;
        }
        if (carries > 0){
            sb.append(carries);
        }
        return sb.reverse().toString();
    }

}

 

 

 

<think>好的,我现在需要帮助用户理解二进制求和的编程思想。用户已经提供了一些参考资料,包括直接转换十进制的简单方法,以及逐位计算的更复杂方法。我需要综这些信息,给出清晰的思路和方法。 首先,用户之前的问题是关于Python中递减循环的使用,现在转向二进制求和,这属于算法问题。可能需要从简单方法讲起,再深入到位运算或其他优化方法。用户提供的引用中提到了两种方法:一种是转换为十进制相加再转回二进制,另一种是逐位计算处理进位。同时还有位运算的相关知识点,比如异或和与操作模拟进位。 用户可能想了解这两种方法的优缺点,以及具体的实现步骤。需要注意的是,用户可能对位运算不太熟悉,需要解释清楚。此外,用户可能关心如何处理大数情况,因为直接转换十进制的方法在数字很大时会有溢出问题,这时候逐位计算的方法更可靠。 另外,引用中的代码示例有Java的,但用户之前的问题是关于Python的,可能需要提供Python的代码示例。不过用户现在的问题更偏向算法思想,代码语言可能不是重点,但最好用Python来演示,保持一致性。 需要组织回答的结构:首先介绍二进制求和的问题定义,然后分两种方法讲解,比较它们的优缺点,最后总结应用场景。同时,根据用户提供的引用,特别是引用[4]中的逐位计算代码,详细说明其步骤,比如从低位到高位,处理进位,并循环等优化点。 还要注意用户可能存在的疑问,例如为什么直接转换的方法在LeetCode中可能不被接受(因为大数问题),或者如何处理不同长度的字符串。需要解释清楚这些细节,确保回答全面。 最后生成相关问题,引导用户深入思考,比如性能比较、大数处理、其他进位问题等。</think>### 二进制求和的编程思想与实现方法 二进制求和的核心在于**模拟二进制加法运算规则**(逢二进一),其实现思路可分为两种典型方法: --- #### 一、基础方法:十进制转换法(适小规模数据) **思想**: 1. 将二进制字符串转换为十进制整数 2. 执行十进制加法运算 3. 将结果转换回二进制字符串 **Python示例**: ```python def addBinary(a: str, b: str) -> str: num_a = int(a, 2) # 按二进制解析字符串 num_b = int(b, 2) return bin(num_a + num_b)[2:] # 转二进制并去除前缀'0b' ``` **优点**:代码简洁,适短字符串(如LeetCode测试用例) **缺点**:当字符串长度超过$10^3$时,整数转换会溢出[^1] --- #### 二、高效方法:逐位计算法(通用解法) **思想**: 1. **对齐位数**:从右向左遍历两个字符串(即从低位到高位) 2. **逐位相加**:计算当前位的和(`a_bit + b_bit + carry`) 3. **处理进位**:和的当前位值为`sum % 2`,进位为`sum // 2` 4. **处理剩余位**:处理较长字符串的剩余位数 5. **处理最终进位**:最高位可能产生新进位 **Python实现**: ```python def addBinary(a: str, b: str) -> str: i, j = len(a)-1, len(b)-1 carry = 0 res = [] while i >= 0 or j >= 0 or carry: total = carry if i >= 0: total += int(a[i]) i -= 1 if j >= 0: total += int(b[j]) j -= 1 res.append(str(total % 2)) # 当前位结果 carry = total // 2 # 进位 return ''.join(reversed(res)) # 反转得到正确顺序 ``` **关键优化**: - **统一循环处理**:并三个循环为一个(主循环处理所有情况) - **动态进位管理**:通过`carry`变量实时跟踪进位状态 - **反向构建结果**:使用列表+反转代替字符串拼接,时间复杂度从$O(n^2)$降为$O(n)$[^4] --- #### 三、进阶方法:位运算(性能优化) **思想**: - **无进位和**:通过异或运算实现(`a ^ b`) - **进位值**:通过与运算+左移实现(`(a & b) << 1`) - **循环计算**:直到进位为0 **数学表达**: $$ \text{sum} = a + b = (\text{无进位和}) + (\text{进位}) $$ 需要反复计算直到进位为0,但此方法更适硬件电路设计,在编程中效率未必优于逐位法[^3] --- ### 方法对比 | 方法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |---------------|------------|------------|---------------------| | 十进制转换法 | $O(n)$ | $O(1)$ | 短字符串(长度<50) | | 逐位计算法 | $O(max(m,n))$ | $O(n)$ | 任意长度字符串 | | 位运算法 | $O(1)$[^3] | $O(1)$ | 硬件实现/理论研究 | --- ### 应用场景 1. **嵌入式系统**:逐位法避免大数溢出(如传感器数据处理) 2. **密码学运算**:处理超长二进制密钥(如RSA算法中的模幂运算) 3. **网络协议**:IP地址校验和计算[^2] ---
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