Python解决“环状DNA序列的最小表示法”问题

问题描述

科学员正在研究一种环状的 DNA 结构，它由四种碱基A、C、G、T构成。这种环状结构的特点是可以从任何位置开始读取序列，因此一个长度为 n 的碱基序列可以有 n 种不同的表示方式。科学员的任务是从这些表示中找到字典序最小的序列，即该序列的“最小表示”。

例如：碱基序列 ATCA 从不同位置读取可能的表示有 ATCA, TCAA, CAAT, AATC，其中 AATC 是字典序最小的表示。

测试样例

样例1：
输入：dna_sequence = “ATCA”
输出：‘AATC’

样例2：
输入：dna_sequence = “CGAGTC”
输出：‘AGTCCG’

样例3：
输入：dna_sequence = “TTGAC”
输出：‘ACTTG’

解决思路

这道题目综合运用了字符串处理和集合数据结构的知识，是一道典型的字符串最小表示问题。
题目要求找到一个环状 DNA 序列的最小字典序表示。由于环状结构可以从任意位置开始读取，因此一个长度为 n 的序列可以有 n 种不同的表示方式。我们需要从这些表示中找到字典序最小的序列。为了实现这一点，我们可以生成所有可能的表示方式，并将它们存储在一个集合中，然后从中找到字典序最小的序列。

时间复杂度：
生成所有可能的表示方式需要 O(n^2) 的时间复杂度，因为我们需要遍历每个位置并生成一个长度为 n 的序列。使用 min 函数在集合中查找最小值的时间复杂度为 O(n)，因为集合的大小为 n。
因此，总的时间复杂度为 O(n^2)。

空间复杂度：
存储所有可能的表示方式需要 O(n^2) 的空间复杂度，因为每个位置生成的序列都需要存储。
因此，总的空间复杂度为 O(n^2)。

代码

法1

current_sequence < min_sequence比较规则：

• current_sequence < min_sequence 是通过逐个比较序列中的元素来判断的。
• 如果 current_sequence 在某个位置的元素小于 min_sequence 对应位置的元素，则 current_sequence < min_sequence 为 True。
• 如果所有对应位置的元素都相同，但 current_sequence 的长度小于
  min_sequence，则 current_sequence < min_sequence 也为 True。

def solution(dna_sequence):
    n = len(dna_sequence)
    # 复制序列以生成所有可能的表示
    extended_sequence = dna_sequence + dna_sequence
    # print(extended_sequence)
    min_sequence = dna_sequence  # 初始化最小序列为原序列
    # print(min_sequence)
    # 遍历所有可能的表示
    for i in range(1, n):
        current_sequence = extended_sequence[i:i+n]
        # print(current_sequence)
        # 如果当前序列比最小序列小，更新最小序列(这个比较是逐位比较，所以可以直接比较)
        if current_sequence < min_sequence:
            min_sequence = current_sequence
    
    return min_sequence

if __name__ == "__main__":
    # 你可以添加更多测试用例
    print(solution("ATCA"))
    print(solution("CGAGTC"))
    print(solution("TCATGGAGTGCTCCTGGAGGCTGAGTCCATCTCCAGTAG"))

输出：
AATC
AGTCCG
AGGCTGAGTCCATCTCCAGTAGTCATGGAGTGCTCCTGG

法2

简化我们的代码

1. 生成所有可能的表示方式：
   通过遍历序列的每个位置 i，生成从该位置开始的新序列。
   使用取模运算 (i + j) % n 来处理环状结构，确保生成的序列长度为 n。

2. 存储所有表示方式：
   将生成的所有序列存储在一个集合 dna_sequences_set 中，以确保每个序列只存储一次。

3. 找到字典序最小的序列：
   使用 min 函数结合 key=lambda x: (x, len(x)) 来找到集合中字典序最小的序列。
   由于集合中的序列长度相同，len(x) 只是为了确保 min 函数能够正常工作。

def solution(dna_sequence: str) -> str:
    dna_sequences_set = set()
    n = len(dna_sequence)

    for i in range(n):
        new_sequence = ''.join(dna_sequence[(i + j) % n] for j in range(n))
        dna_sequences_set.add(new_sequence)

    dna = min(dna_sequences_set, key=lambda x: (x, len(x)))
    return dna


if __name__ == '__main__':
    print(solution(dna_sequence = "ATCA"))
    print(solution(dna_sequence = "CGAGTC"))
    print(solution(dna_sequence = "TTGAC"))