利用Python解决最短路径问题

题意

一图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b，如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21，则两个结点之间没有边相连；如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条 长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。
例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无向边，长度为 24；结点 15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。
请计算，结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。

运行限制

最大运行时间：1s
最大运行内存: 128M

解题思路

代码

法一（基于最短路径长度递增）：

import math
def lcm(x,y):
  return x*y//math.gcd(x,y)

n = 2021
dp = [float('inf')]*(n+1)
dp[1]=0
for i in range(1,n):
  for j in range(i+1,i+22):
    if j>n:
      break
    dp[j] = min(dp[j],dp[i]+lcm(i,j))

print(dp[n])

法二（基于图论中的最短路径算法）：

import math

def lcm(a, b):
    return int(a * b / math.gcd(a, b))

n = 2021
g = [[0 for i in range(1, n + 2)] for j in range(1, n + 2)]
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if i == j:
            g[i][j] = g[j][i] = 0
        elif abs(i - j) <= 21:
            g[i][j] = g[j][i] = lcm(i, j)
        else:
            g[i][j] = 1000000000
for k in range(1, n + 1):
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if g[i][j] > g[i][k] + g[k][j]:
                g[i][j] = g[i][k] + g[k][j]
print(g[1][n])

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