青蛙的约会解题报告（转）

那么什么是线性同余方程？对于方程：ax≡b(mod   m)，a，b，m都是整数，求解x 的值。

解题例程：pku1061 青蛙的约会 解题报告

符号说明：

                  mod表示：取模运算

                  ax≡b(mod   m)表示：(ax - b) mod m = 0，即同余

                  gcd(a,b)表示：a和b的最大公约数

求解ax≡b(mod n)的原理：

对于方程ax≡b(mod n)，存在ax + by = gcd(a,b)，x，y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x，y来堆砌。具体做法，见下面的MLES算法。

第一个问题：求解gcd(a,b)

定理一：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

实现：古老的欧几里德算法

int Euclid(int a,int b)
{
if(b == 0)
      return a;
else
      return Euclid(b,mod(a,b));
}

附：取模运算

int mod(int a,int b)
{
if(a >= 0)
      return a % b;
else
      return a % b + b;
}

第二个问题：求解ax + by = gcd(a,b)

定理二：gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y'

                                           = b * x' + (a - a / b * b) * y'

                                           = a * y' + b * (x' - a / b *      y')

                                           = a * x + b * y

则：x = y'

                         y = x' - a / b * y'

实现：

triple Extended_Euclid(int a,int b)
{
triple result;
if(b == 0)
{
      result.d = a;
      result.x = 1;
      result.y = 0;
}
else
{
      triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b));
      result.d = ee.d;
      result.x = ee.y;
      result.y = ee.x - (a/b)*ee.y;
}
return result;
}

附：三元组triple的定义

struct triple
{
int d,x,y;
};

第三个问题：求解ax≡b(mod n)

实现：由x，y堆砌方程的解

int MLES(int a,int b,int n)
{
triple ee = Extended_Euclid(a,n);
if(mod(b,ee.d) == 0)
      return mod((ee.x * (b / ee.d)),n / ee.d);
else
      return -1;
}//返回-1为无解，否则返回的是方程的最小解

说明：ax≡b(mod n)解的个数：

如果ee.d 整除 b 则有ee.d个解；

如果ee.d 不能整除 b 则无解。

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解题如下：

两只青蛙跳了t 步
A的坐标 x+mt
B的坐标 y+nt
相遇的充要条件：
     x+mt-y-nt= pL ( p是整数) 即
     (n-m)*t+Lp=x-y    (L>0)
问题转化为：
求满足 (m-n)*t+Lp=(x-y)   的最小 t (t>0)
即求 一次同余方程
(m-n)*t = (x-y) (mod L) 的最小正整数解

#include

long long mod(long long a,long long b)
{
    return (a % b + b) % b;
}

struct triple
{
    long long d,x,y;
};

long long Euclid(long long a,long long b)
{
     if(b == 0)
         return a;
     else
         return Euclid(b,mod(a,b));
}

triple Extended_Euclid(long long a,long long b)
{
    triple result;
    if(b == 0)
   {
       result.d = a;
       result.x = 1;
       result.y = 0;
   }
    else
   {
       triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b));
       result.d = ee.d;
       result.x = ee.y;
       result.y = ee.x - (a/b)*ee.y;
   }
   return result;
}

long long MLES(long long a,long long b,long long n)
{
    triple ee = Extended_Euclid(a,n);
    if(mod(b,ee.d) == 0)
       return mod((ee.x * (b / ee.d)),n/ee.d);
    else
       return -1;
}

int main()
{
     long long x, y, m, n, l;
     while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l) != EOF){
     long long mles;
     mles = MLES(m-n,y-x,l);
     if(mles < 0)
         printf("Impossible/n");
     else
         printf("%I64d/n",mles);
}
     return 0;
}