【递推+矩阵快速幂+模运算+欧拉降幂】HDU - 5895 Mathematician QSC

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原创最新推荐文章于 2026-02-16 00:41:45 发布 386 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

矩阵快速幂 PPT中简单讲解了一下矩阵的基础，以及矩阵快速幂的写法和简单应用，练习题网上有很多立即下载

HDU - 5895

解题思路

~~太难了搞了我整整一天，数论咋这么难~~

参考题解

1.累加法化简 $g (n)$ ：

在看看g(n)的定义 g(n) = f(1)^2 + f(2)^2 + … + f(n)^2;

因为

所以：

多写几个就可以看出累加法：

所以：

2.矩阵快速幂求 $f (n)$ ：

由
$\times A^{n} = [f(n+1),f(n)]$
其中 $f (1) = 1, f (0) = 0,$
$\left[ \begin{matrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{matrix} \right]$
设结果矩阵为 $r e s$ ，则 $f (n + 1) = r e s [0] [0], f (n) = r e s [0] [1]$ 。

3.模运算的处理。

现在的式子化为： $x^{g(n)}\%(s+1)=x^{\frac {f(n) \times f(n+1)}{2}}\%(s+1)$

涉及幂运算的取模，运用欧拉降幂公式的第三种情况
$a^b\%p=\left\{ \begin{aligned} &a^{b\%\phi(p)}\%p& \quad gcd(a,p)=1\\ &a^b\%p& \quad gcd(a,p) \neq1,b<\phi(p)\\ &a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}\%p& \quad gcd(a,p) \neq1,b\ge\phi(p)\\ \end{aligned} \right .$
化为： $x^{\frac {f(n) \times f(n+1)}{2}\%\phi(s+1)+\phi(s+1)}\%(s+1)$

单独求一个欧拉函数的板子：

LL phi(LL n) {
    LL res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res - res / i;
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

不知道啥是欧拉函数戳这里，很详细~

单独拎出 $x$ 的指数部分的前半部分看，要求 $\frac {f(n) \times f(n+1)}{2}\%\phi(s+1)$ 。

因为 $2$ 和 $\phi(s+1)$ 不一定互质，因此不能用乘法逆元求解。

正确做法是应用这个公式： $\frac ab\%mod=\frac {a\%mod\times b}{b}$

证明：
$\frac ab\mod k = d \\ \frac ab=kx+d\\ a=kbx+bd\\ a\mod kb=bd\\ \frac {a \mod kb}{b}=d$

因此 $\frac {f(n) \times f(n+1)}{2}\%\phi(s+1)= \frac {f(n) \times f(n+1) \%2 \times\phi(s+1)}{2}$ ，可劲儿求吧。

注意事项

求 $f (n)$ 的时候运用矩阵快速幂取模，注意此时的模不是 $s + 1$ ，而是 $\times\phi(s+1)$ 。

参考代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<deque>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
//#define LOCAL  //提交时一定注释
#define VI vector<int>
#define io ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL INF = 1e18;
typedef vector<VI> mat;

inline int readint() {int x; scanf("%d", &x); return x;}

LL mod;

mat multi(mat &A, mat &B) {
    mat C(A.size(), VI(B[0].size()));
    for(int i = 0; i < A.size(); i++) {
        for(int j = 0; j < B.size(); j++) {
            for(int k = 0; k < B.size(); k++) {
                C[i][j] = (C[i][j] + 1LL * A[i][k] * B[k][j] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return C;
}

mat fm(mat A, LL n) {
    mat res(A.size(), VI(A.size()));
    for(int i = 0; i < A.size(); i++)
        res[i][i] = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) res = multi(res, A);
        A = multi(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

LL phi(LL n) {
    LL res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res - res / i;
            while (n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

LL qm(LL a, LL b, LL c) {
    LL res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % c;
        a = a * a % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//   freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
    int t = readint();
    mat A(2, VI(2)), B(1, VI(2));
    A[0][0] = 2;
    A[0][1] = A[1][0] = 1;
    B[0][0] = 1, B[0][1] = 0;
    LL n, y, x, s;
    mat res, A_n;
    while (t--) {
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &y, &x, &s);
        mod = 2 * phi(s + 1);
        A_n = fm(A, n * y);  //求A^n
        res = multi(B, A_n);
        LL mi = (res[0][0] % mod * res[0][1] % mod) % mod;
        mi = mi / 2 + mod / 2;
        printf("%lld\n", qm(x, mi, s + 1));
    }
    return 0;
}