HDU 5895 Mathematician QSC(矩阵乘法+循环节降幂+除法取模小技巧+快速幂)——2016 ACM/ICPC Asia Regional Shenyang Online-优快云博客

原文链接：http://blog.youkuaiyun.com/queuelovestack/article/details/52577212
解题思路:
【题意】
已知f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−2)+2∗f(n−1)(n≥2)
这里写图片描述
给你n,y,x,s的值
求的值
【类型】
矩阵乘法+循环节降幂+除法取模小技巧+快速幂
【分析】
一开始想简单了,对于a^x mod p这种形式的直接用欧拉定理的数论定理降幂了

结果可想而知,肯定错,因为题目并没有保证gcd(x,s+1)=1,而欧拉定理的数论定理是明确规定的
所以得另谋出路
那么网上提供了一种指数循环节降幂的方法
这里写图片描述
具体证明可以自行从网上找一找
有了这种降幂的方法之后,我们要分析一下如何求g(n)
由于f(0)=0,f(1)=1,f(n)=f(n−2)+2∗f(n−1)(n≥2)

∴f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,f(4)=12,f(5)=29,f(6)=70……
∴g(0)=f(0)*f(0)=0=f(0)*f(1)/2
g(1)=g(0)+f(1)*f(1)=1=f(1)*f(2)/2
g(2)=g(1)+f(2)*f(2)=5=f(2)*f(3)/2
g(3)=g(2)+f(3)*f(3)=30=f(3)*f(4)/2
g(4)=g(3)+f(4)*f(4)=174=f(4)*f(5)/2
g(5)=g(4)+f(5)*f(5)=1015=f(5)*f(6)/2
……
可得,g(n)=f(n)*f(n+1)/2
这个是很好发现的
如果你发现不了的话,可以直接丢到OEIS里搜一下
然后,要求出g(n*y),就需要先求出f(n*y)和f(n*y+1)
这时,我们可以考虑用矩阵乘法
构造矩阵
这里写图片描述
套一下矩阵快速幂的模板就可以求出f(n*y)和f(n*y+1)
然后要求g(n)还有个除以2的操作,显然除法取模要用逆元
但考虑到2与模数不一定互质,无法用乘法逆元,所以要采用一点小技巧转化一下

这样我们就可以得到简化好的最终的指数部分
这样我们用快速幂就可以求x的幂次对(s+1)取模了
【时间复杂度&&优化】
O(logn)
题目链接：HDU 5895

/*Sherlock and Watson and Adler*/
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
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#include<cmath>
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#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define eps 1e-9
#define LL long long
#define PI acos(-1.0)
#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)
using namespace std;
const int N = 2;
const int M = 100005;
const int inf = 1000000007;
//const int mod = 1000000007;
typedef struct node
{
    __int64 a[N][N];
    void Init()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<N;i++)
            a[i][i]=1;
    }
}matrix;
int mod;
bool flag;
matrix mul(matrix a,matrix b)//矩阵乘法
{
    matrix ans;
    for(int i=0;i<N;i++)
        for(int j=0;j<N;j++)
        {
            ans.a[i][j]=0;
            for(int k=0;k<N;k++)
            {
                ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
                if(ans.a[i][j]>mod)
                    ans.a[i][j]=ans.a[i][j]%mod+mod;
            }
        }
    return ans;
}
matrix pow(matrix a,__int64 n)//求a^n
{
    matrix ans;
    ans.Init();
    while(n)
    {
        if(n%2){
            ans=mul(ans,a);
        }
        n/=2;
        a=mul(a,a);
    }
    return ans;
}
int euler(int n)
{
    int ans=1,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            n/=i;
            ans*=i-1;
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
                ans*=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)
        ans*=n-1;
    return ans;
}
__int64 Quick_Mod(__int64 a, __int64 b, __int64 m)
{
    __int64 res = 1,term = a % m;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res * term) % m;
        term = (term * term) % m;
        b >>= 1;
    }
    return res%m;
}
int main()
{
    int t,n,y,x,s;
    __int64 z;
    matrix ans,k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        k.a[0][0]=0;k.a[0][1]=1;
        k.a[1][0]=1;k.a[1][1]=2;
        ans.a[0][0]=0;ans.a[0][1]=0;
        ans.a[1][0]=1;ans.a[1][1]=0;
        scanf("%d%d%d%d",&n,&y,&x,&s);
        mod=2*euler(s+1);
        z=n;z*=y;
        ans=mul(pow(k,z),ans);
        z=(ans.a[0][0]*ans.a[1][0])%mod+mod;
        z=(z%mod+mod)/2;
        printf("%I64d\n",Quick_Mod(x,z,s+1));
    }
    return 0;
}