[SCOI2015]小凸玩矩阵（匈牙利+二分）

最新推荐文章于 2025-06-25 17:30:03 发布

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#匈牙利 #二分 #最大匹配

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匈牙利/KM（二分图）

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该博客介绍了如何解决一个数学问题，即在给定的矩阵中找出N个不相邻元素，使得第K大的元素最小。通过二分搜索策略，博主展示了如何找到满足条件的最大边权匹配，以确定第K大数字的最小可能值。代码实现中，二分查找结合回溯法，检查在给定限制下是否存在至少n-k+1个匹配。

description

题目描述

小凸和小方是好朋友，小方给小凸一个 N×M（N≤M）的矩阵 A，要求小凸从其中选出 N 个数，其中任意两个数字不能在同一行或同一列，现小凸想知道选出来的 N 个数中第 K大的数字的最小值是多少。

输入格式
第一行给出三个整数 N、M、K。接下来 N 行，每行 M个数字，用来描述这个矩阵。
输出格式
输出选出来的 N个数中第 K大的数字的最小值。

样例
Input
3 4 2
1 5 6 6
8 3 4 3
6 8 6 3
Output
3

数据范围与提示
1≤K≤N≤M≤250,1≤Ai,j≤10^9

solution

第 $K$ 大最小值，明显套路往二分上面思考

不妨二分最后的答案

那么问题转化为选择边的边权不超过答案的情况下的最大匹配数 $≥n−k+1\ge n -k+1$

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define maxn 255
int n, m, k, l, r;
bool vis[maxn];
int match[maxn];
int matrix[maxn][maxn];

bool find( int x, int lim ) {
	for( int i = 1;i <= m;i ++ ) {
		if( ! vis[i] && matrix[x][i] <= lim ) {
			vis[i] = 1;
			if( ! match[i] || find( match[i], lim ) ) {
				match[i] = x;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int check( int x ) {
	memset( match, 0, sizeof( match ) );
	int ans = 0;
	for( int i = 1;i <= n;i ++ ) {
		memset( vis, 0, sizeof( vis ) );
		if( find( i, x ) ) ans ++;
	}
	return ans;
}

int main() {
	scanf( "%d %d %d", &n, &m, &k );
	for( int i = 1;i <= n;i ++ )
		for( int j = 1;j <= m;j ++ ) {
			scanf( "%d", &matrix[i][j] );
			r = max( r, matrix[i][j] );
		}
	int ans;
	while( l <= r ) {
		int mid = ( l + r ) >> 1;
		if( check( mid ) >= n - k + 1 ) ans = mid, r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	printf( "%d\n", ans );
	return 0;
}