5.1--5.1.1 Inversions 反序（上）

从5.1的标题COMBINATORIAL PROPERTIES OF PERMUTATIONS来看，这一节应该会涉及比较多的组合数学的东西，这一节也属于比较有意思的一节。

反序和反序对

Inversions 反序，这是什么概念呢？对于排序，当然，排列是重要的研究对象，那么反序应该也是针对排列而言的。

Let (ai a2 ... an) be a permutation(排列) of the set {1,2,..., n}. If i < j and ai > aj, 
the pair (ai,aj) is called an inversion(反序对) of the permutation; 

从该定义来看，反序对就是违背了排序的一对元素，唯一没有反序对的排列就(1,2,...,n)。

事实上，在学线性代数的时候，求n*n行列式的时候，我们曾经用过反序的概念，G. Cramer 在1950提出的公式

上面的求和是对(1,2,...,n)的所有排列求和，而inv(a1a2...an)是该排列的反序对个数，我们简单叫做反序数。

反序表和反序数

The inversion table(反序表) b1b2 ... bn of the permutation a1 a2 ... an is obtained by 
letting bj be the number of elements to the left of j that are greater than j. (bj等于大于j且在j右边的元素个数的总和)
In other words, bj is the number of inversions whose second component is j. 
例子：591826473 的反序表为 2 3 6 4 0 2 2 10,
since 5 and 9 are to the left of 1; 5, 9, 8 are to the left of 2; etc. 

当然从这个定义看出反序表主要是对自然数的排列进行定义的。这也可以扩展，但是讨论问题而言就变得简单了。大多数也需要对一个排列的序号进行研究。

那么反序表的所有元素加起来就是排列的反序数了。而且反序表满足0 <= b1 <= n - 1, 0<=b2<=n-2, ..., 0 <= b(n-i) <= 1, bn = 0. 

反序表和其排列有着一一对应的关系，从排列到反序表，我们已经知道是唯一的，那么如何从反序表到排列呢，只要我们先把最大值写下，然后从大到小通过插值的方法就可以完成其排列了，因为bn一定为0，这样就可以唯一确定一个排列，这个性质很重要，对解决问题的转化也很有帮助。

例如计算排列个数时，我们以前常用的是一种策略，选第一个有n种，选第二个有n-1，所以是n的阶乘，那么从数学来看，反序表更直接，因为反序表的每个元素是独立的，算出来也是n的阶乘。

另一个例子，在第一卷的1.2.10中，曾经计算过排列的局部最大值的问题，就是计算有多少个元素大于他们所有的后继的问题。那么这个数就是反序表中所有有反序极大值的元素的个数总和，这个极大值指的是bj=n-j的时候。这是因为，当bj=n-j时，那么说明大于j的数全部在j的左边，那么右边的数一定是小于j的，所以该数也是具有局部最大值的。那么当我们求一个排列的平均局部最大值个数的时候，用反序表可以简单解决这个问题，因为反序表每个元素都是独立的，所以，b1有1/n概率是n-1，类似的，可以得到，该平均值是1/n+1/(n-1)+..+1=Hn。

在原排列中随意交换两个相邻元素，反序数总是加一或者减一，这个也很容易证明，因为只对相邻的那两个元素的反序对有影响，要不就是从反序对变成不是反序对，要不就是从不是反序对变成反序对。对其他元素并没有影响。

文中还给出了阿基米德的均匀多面体的图，加深直观理解，也颇有趣味。越来越兴奋的发现在下面展示。

排列的逆和反序表

排列的逆，在第一卷的时候也提到过，定义为a‘j = k 当 ak = j 。那么

591826473 ___ 123456789 

123456789        359716842 

一个排列的逆和该排列有着相同的反序数。Rotha给出了比较有趣的证明。

We construct an n x n chessboard having a dot in column j of row i whenever ai = j. Then we put × 's in all squares that have dots lying both below (in the same column) and to their right (in the same row). 

下面是591826473的构造图：

文中说容易看出构造图中的× 的个数就是反序数。这里我们可以知道，在黑点左边的格子数就是该元素的比它小的元素的总数。而除去一些在它前面，又比它小，就可以得到在它后面，又比它小的数，这个数就就构成数对反序对，所有的× 的个数也就是反序对的总和，即反序数。

那么我们现在把图转置一下，交换行列，(相当于把图按照图的y轴向面向你的方向转180°，然后把得到的图再按图的中心旋转90°),那么得到的就是该排列的逆的图了。经过转置，图中的× 的个数是不变的，所以就可以得到证明。