5.1--5.1.1 Inversions 反序(下)

博客内容围绕反序分布展开,在讲述完反序数的个数后,开始探讨反序分布问题。

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讲完了反序数的个数,接下来的正文又令我大为吃惊,涉及到反序分布的问题。

反序分布

### Python 实现归并排序计算逆序对 在处理数组中的逆序对问题时,使用归并排序是一种高效的解决方案。相较于暴力法的时间复杂度 \(O(n^2)\)[^2],基于归并排序的方法能够将时间复杂度降低到 \(O(n \log n)\)。 #### 归并排序原理简介 归并排序采用的是分治策略,即将待排序序列分为若干子序列分别进行排序后再合并这些有序子序列形成最终的完全有序序列[^3]。此过程不仅实现了排序功能,在分割与合并的过程中还可以统计出原序列中存在的全部逆序对数量。 #### 代码实现 下面是一个完整的Python程序,它展示了如何利用归并排序来计算给定整数列表中的逆序对数目: ```python def merge_and_count_split_inv(B, C): sorted_array = [] inversions = 0 i, j = 0, 0 while i < len(B) and j < len(C): if B[i] <= C[j]: sorted_array.append(B[i]) i += 1 else: sorted_array.append(C[j]) j += 1 inversions += (len(B) - i) # Append any remaining elements of the arrays to 'sorted_array' sorted_array.extend(B[i:]) sorted_array.extend(C[j:]) return sorted_array, inversions def sort_and_count(array): if len(array) <= 1: return array, 0 mid = len(array) // 2 left_half, x = sort_and_count(array[:mid]) right_half, y = sort_and_count(array[mid:]) merged_array, z = merge_and_count_split_inv(left_half, right_half) return merged_array, x + y + z def count_inversions_merge_sort(arr): _, num_of_inversions = sort_and_count(arr) return num_of_inversions # 测试例子 if __name__ == "__main__": test_arr = [1, 3, 5, 2, 4, 6] print(f"Array {test_arr} has {count_inversions_merge_sort(test_arr)} inversions.") ``` 上述代码定义了一个 `merge_and_count_split_inv` 函数用于合并两个已排序的部分,并在此过程中计数跨越这两个部分之间的所有可能存在的逆序对;另一个辅助函数 `sort_and_count` 则负责递归地拆分输入直到单个元素为止,之后再逐步组合起来的同时累计总的逆序对数目。最后,`count_inversions_merge_sort` 提供了一种简便的方式来获取任意数组内的总逆序对数量[^2]。
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