动态规划实战：算法解析+最优解+路径数+是否可行

最新推荐文章于 2025-07-21 23:34:29 发布

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#动态规划 #算法 #leetcode #面试 #java

本文深入探讨了动态规划的概念，强调了其应用于解决优化问题的关键条件：无后效性、重叠子问题和最优子结构。通过分析动态规划的阶段划分、初始状态、转移方程和边界条件，文章列举了多个经典例题，包括求解最大价值问题、打家劫舍系列、最长回文子串、最长重复子数组以及不同路径的计算。动态规划在解决这些优化问题中展现出强大的能力，能够有效地找到最优解或计算方案数。

题目来源都是LeetCode。

动态规划

动态规划属于运筹学范畴，是求解决策过程最优化的过程。动态规划算法求解时，需将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题的解，然后从子问题的解推导出原问题的解。也就是说，大规模问题的解是由小规模问题的解运算得到的。

动态规划应用条件

无后效性：某阶段的状态确定后，就不会受到该阶段之后的后续决策的影响；
重叠子问题：存在重复子问题，子问题的解会被多次利用；
最优子结构：原问题在获得最优解的情况下，由原问题分解出来的子问题，在各自的规模上，也是最优解。分解得到的子问题之间需要保持独立性，也就是说，下一状态的确定可由前面的状态推导出来。

动态规划应用考虑点

阶段划分
初始状态：动态规划的状态起点
转移方程：利用转移方程，可通过上一阶段的状态推断出当前阶段的状态；
边界条件：也即动态规划停止的条件或者一些限制条件

动态规划典型题目类型

求最优解问题，最大值和最小值。典型问题包括：最长回文子串、最长上升子序列等
求方案数。典型问题包括：路径规划，也就是常见的机器人走图的路径数
求是否可行，这种题目的结果通常为true或者false。典型问题包括：兑换零钱问题等

动态规划例题

题1：能拿到的礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

动态规划代码如下：

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        // 动态规划
        int m = grid.length;//行数
        int n = grid[0].length;//列数
        int[][] f = new int[m][n];
        int max = 0;
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                f[i][j] = 0;
            }
        }
        f[0][0] = grid[0][0];
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(i==0 && j>0){//上边界
                    f[i][j] = f[i][j-1] + grid[i][j];
                }else if(j==0 && i>0){//左边界
                    f[i][j] = f[i-1][j] + grid[i][j];
                }else if(i!=0 && j!=0){//其它情况
                    f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i][j-1]) + grid[i][j];
                }
                max =