树和二叉树的基本概念及性质

牧濑红莉栖^U

已于 2022-04-16 15:22:18 修改

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文章标签： c语言数据结构

于 2022-04-16 15:19:01 首次发布

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本文详细介绍了树的数据结构，包括树的概念、性质和表示方法，如双亲表示法、孩子兄弟表示法。接着，深入探讨了二叉树的定义、特殊类型如满二叉树和完全二叉树，以及二叉树的性质。此外，还提到了堆的概念，即满足特定条件的完全二叉树。这些内容是理解数据结构和算法的基础。

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一.树概念及性质

1.树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树。

·其有一个特殊的结点，称为根结点 ，根节点没有前驱结点

·除根节点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 ，其中每一个集合又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继节点

·树是递归定义 的。

注意：

1.树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构（而是图-Graph）

2.除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点(根节点无父节点)

下面继续介绍树的相关概念:

节点的度 ：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图： A 的度为 6

叶节点或终端节点 ：度为 0 的节点称为叶节点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

非终端节点或分支节点 ：度不为 0 的节点；如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图： B 是 A 的孩子节点

兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图： B 、 C 是兄弟节点

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为 4

堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

2.树的部分性质

·1.一颗节点为N的树具有N-1条边(N>0)

对于节点为1的树，其拥有0条边。往后每增加一个节点，边数也对应增加1，易得此性质。

·2.在一颗度为i的树中，度为1的结点有 $x1$ 个，度为2的结点有 $x2$ 个，度为3的结点有 $x3$

个......度为i的节点有 $xi$ 个，则叶子结点数目 $P$ 为: $P=\sum(i-1)*(xi)$

3.树的表示

树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法

等。其中最常用的是 孩子兄弟表示法 。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

二. 二叉树概念及结构

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.特殊的二叉树：

1.满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^k-1$ ，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^i-1$ 个结点.

2. 若规定根节点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 $2^h-1$ .

3. 对任何一棵二叉树 , 如果度为的 叶结点个数为 $n0$ , 度为 2 的分支结点个数为 $n2$ , 则有 $n0 = n2+1$

4. 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， $h=\log_{2}(n+1)$

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为i 的结点有：

1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点

2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子

3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ， 2i+2>=n 否则无右孩子

4.堆的概念及结构

如果有一个集合 K ，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：父节点的值均不大于(不小于)子节点，则称为小堆 ( 或大堆 ) 。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

堆总是一棵完全二叉树。