算法时间复杂度的介绍

一.引言

正所谓"条条大路通罗马"，要通过编写程序来实现某种目的，毫无疑问有着各种各样的方法，算法（Algorithm）便是描述解题所采用的方法。但是，在我们运行程序的时候，不同的算法的效率一般有优劣之分。那么如何衡量程序实现的效率呢?这里我们引入复杂度的概念。

二.算法复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间( 内存 ) 资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般 是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度:主要衡量一个算法的运行快慢

空间复杂度:主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。

三.时间复杂度

要衡量程序算法在时间上的效率，我们不能单纯的比较不同算法在实际运行时所需要的时间。一方面，程序实际运行的时间，和其所在的运行环境，和当前程序所要处理的数据量是息息相关的。另一方面，我们在实现目的时，也不可能将所有可能的算法先进行实现，再一一通过运行时间来比对它们的效率。因此，程序实际运行时间是不能作为时间效率的衡量标准的。

实际上，时间复杂度的定义为：算法中的基本操作的执行次数。因为一般来说，算法中基本操作需耗费的时间是一定的，因此找到某条基本语句的执行次数与问题规模N 之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

int i=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
    printf("%d ",i);
}

如上述的简单代码，若给定数据n，则循环体内的基础语句printf会执行F(n)=n次，此时它的时间复杂度为O(N)。

那么为什么用O(N)表示呢?这里就需要介绍一下时间复杂度的表示方法

四.时间复杂度表示方法-大O的渐进表示法

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这 里我们使用大O的渐进表示法。大 O 符号（ Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。其表示遵守以下规则:

推导大 O 阶方法：

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶

因此，按照上述规则，若基础语句需要执行F(n)=4*n^2+n+1次，则由于其最高阶项为4*n^2，按照规则，保留最高阶项，我们去除其余项n+1，然后去除其系数4，得到大O表示法的复杂度为O(n^2)

通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。有些人可能疑惑，当n很小时，低阶项对次数的影响也很大，但是计算机算法是问题规模n的函数，因此应考虑的是当n规模较大时所耗费的时间。对于系数，若次数为100*n和n也明显在耗费时间上相差很大，但是无论如何它们是"等价无穷大"，在规模上属于一类，因此可以去除。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

一般来说，我们在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为 O(N)

五.时间复杂度的计算及案例

1.

// 计算Func2的时间复杂度
void Func2(int N) {
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

分析代码易得:F(n)=2*n+10，因此时间复杂度为O(N)。

2.

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M) {
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < M; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 for (int k = 0; k < N ; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);

对于两个未知数M和N，执行次数为M+N。 若M远远大于N，时间复杂度可写为O(M)，反之若N远大于M，时间复杂度可写为O(N)，若两者相近，则O(M),O(N)均可(可视为M*2或N*2)。但实际上由于M和N的大小关系不确定，因此时间复杂度用O(M+N)来表示。

3.

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N) {
 int count = 0;
 for (int k = 0; k < 100; ++ k)
 {
 ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

 执行次数F(n)为常数100，按照规则常数用1替代，表示其规模的时间复杂度为O(1)。

4.

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x) {
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n-1;
 while (begin < end)
 {
 int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 if (a[mid] < x)
 begin = mid+1;
 else if (a[mid] > x)
 end = mid;
 else
 return mid;
 }
 return -1; }

经典二分查找(折半查找)算法，对于给定的n个数据，其每次会操作将查找范围缩减至约一半，最好的情况下查找1次，最坏情况查找x次后范围缩减至1个数据，对其判断后查找结束。由数学知识，得，时间复杂度为最坏情况，可表示为O(logn)。

那么时间复杂度就介绍至此。