leetcode 152: 最大乘积数组（动态规划）

题解

• 题意：给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
• 题解：此题要求找到连续乘积最大的子数组，连续数组的意义是什么，一个最直观的想法就是，如果前面的乘积在乘了元素i之后变大了，那么就把元素i加入到子数组中，否则，则从第i项开始，再进行记录。
  • 但是这会遇到一个问题，正数如果乘以负数，那么就是变小了，此时如果抛弃掉前面的项，很明显是不对的，因为后面如果又遇到一个负数，那么最小值又变成最大值了，因此我们不能因为乘以了一个负数，就单纯抛弃前面的项。
  • 此时问题似乎变复杂了，但是最大乘积只可能是最小值乘以负数，或者最大值乘以正数得到，因此我们维护一个最小值序列与最大值序列即可，这个状态转移就简单了，就是到第i个项的时候，最大值是从前i-1项的最大乘积得到，还是最小乘积得到，当然，也可能是当前元素，比如前面乘积最大值是负数，突然来了一个正数，那此时最大乘积数值就是它。
  • $max[i]=MAX(max[i-1]\ast nums[i],MAX(nums[i],min[i-1]\ast nums[i]))$
  • $min[i]=MIN(min[i-1]\ast nums[i],MIN(nums[i],max[i-1]\ast nums[i]))$
• 实现： ，

class Solution {
public int maxProduct(int[] nums) {
    	int n = nums.length;
        int []max = new int[n];
        int []min = new int[n];
        int maxv = nums[0];
        max[0] = nums[0];
        min[0] = nums[0];
        
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            max[i] = Math.max(max[i - 1] * nums[i], Math.max(nums[i], min[i - 1] * nums[i]));
            min[i] = Math.min(min[i - 1] * nums[i], Math.min(nums[i], max[i - 1] * nums[i]));
        	maxv = Math.max(maxv, Math.max(min[i], max[i]));
        }
        return maxv;
    }
};

• 我们可以发现，其实不需要开两个数组来存储max和min，因为这两个数字可以相互转换，当遇到负数的时候，最大正数乘积可能会被转换成最小负数乘积，而最小负数乘积就可能会变成最大正数乘积, 而最大乘积也只可能在这两种情况下得到。
  • 举个例子，对于[1,2,3,4,-1,-2]来说，最小乘积数组是[1,2,3,4,-1]，最大则是[1,2,3,4,-1,-2]，是由最小乘积得到的，但是由最小乘积转换来的正数不一定是最大乘积，比如[1,2,3,4,-1,-2, -1, 1,2,3,4,5]，是由[-2,-1,1,2,3,4,5]数组得到的。
  • 那么这样一来，我们还是需要额外利用一个max来记录过程中的最大值，因为最大乘积只可能从最小乘积的下一个状态和最大乘积中获取
• 实现

class Solution {
    public int maxProduct(int[] nums) {
        int max = nums[0];
        int imin = nums[0], imax = nums[0];
        int n = nums.length;
        for(int i = 1;i < n;i++){
            if(nums[i] < 0) {
                imin = imax^imin; 
                imax ^= imin; 
                imin ^= imax;
            }
            imax = Math.max(nums[i], imax*nums[i]);
            imin = Math.min(nums[i], imin*nums[i]);
            max = Math.max(max, imax);
        }
        return max;
    }
}

题目

• 最大乘积数组