不用除法运算

两个数组a[N],b[N],其中A[N]的各个元素值已知,现给b[i]赋值,b[i] = a[0]a[1]a[2]...*a[N-1]/a[i];
要求:

  • 1.不准用除法运算
  • 2.除了循环计数值,a[N],b[N]外,不准再用其他任何变量(包括局部变量,全局变量等)
  • 3.满足时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)。

提示:题目要求b[i] = a[0]a[1]a[2]...a[N-1]/a[i] ,相当于求:a[0]a[1]a[2]a[3]...a[i-1]a[i+1]..a[N-1],等价于除掉当前元素a[i],其他所有元素(a[i]左边部分,和a[i]右边部分)的积。

void calWithoutDivide1(int* a, int* b, int len) {
	int left = 1;
	int right = 1;

	for (int i = 0; i < len; ++i) {
		b[i] *= left;
		b[len - 1 - i] *= right;
		left *= a[i];
		right *= a[len - 1 - i];
	}
}


好的,这是一个非常有趣的问题。我会尽力解答。 对于一个非零实数 $x$,其倒数 $1/x$ 可以表示为以下形式: $$ \frac{1}{x} = \frac{1}{x_0} - \frac{x - x_0}{x_0^2} + \frac{(x - x_0)^2}{x_0^3} - \frac{(x - x_0)^3}{x_0^4} + \cdots $$ 其中 $x_0$ 是一个初始估计值,这个式子可以通过泰勒展开推导得出。 我们可以利用牛顿迭代法来逐步逼近这个式子的值。具体来说,我们可以通过以下方式进行迭代: $$ x_{n+1} = x_n + x_n(1 - x x_n) $$ 其中 $x_n$ 是第 $n$ 次迭代的估计值。这个式子可以通过对 $\frac{1}{x}$ 求导并令导数为 $0$ 推导得出。 为了避免除法运算,我们可以将 $1/x$ 转化为 $x^{-1}$ 来计算。具体来说,我们可以先计算 $2^{-1}, 4^{-1}, 8^{-1}, \cdots$ 的值,然后利用这些值逐步逼近 $x^{-1}$ 的值。 具体的算法流程如下: 1. 将 $x$ 转化为 $2^m \cdot y$ 的形式,其中 $m$ 是 $x$ 的指数部分,$y$ 是 $x$ 的尾数部分。 2. 利用移位操作计算 $2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \cdots, 2^{-k}$ 的值,其中 $k$ 是满足 $2^{-k} \leq \epsilon/2$ 的最大整数。 3. 初始化 $x_0$ 的值为 $y \cdot 2^{-k}$。 4. 迭代计算 $x_{n+1} = x_n + x_n(1 - x x_n)$,直到满足 $|x_{n+1} - x_n| < \epsilon$,其中 $\epsilon$ 是要求的绝对误差。 5. 计算 $x^{-1} = 2^m \cdot x_n$ 的值。 注意,这个算法的正确性需要证明。同时,这个算法可能并是最优的,还有其他更高效的算法可以用来计算倒数。
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