Sicily 2501. 算算式

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本文介绍了如何运用费马小定理解决在数学计算中遇到的大数幂运算求模问题，通过周期性的观察和简化计算步骤，实现高效求解。

题目概述：S = n^1 + n^2 + n^3 +...... + n^k，已知n、k，求S除以9901的余数。

根据费马小定理：假如p是质数，且(a，p)=1（即a，p互质），那么 a^(p-1) ≡１（mod p）。可知9901是质数，所以n^9900%9901=1，即存在：

( n^ (9900+m)) % 9901 = ( n^9900 * n^m ) % 9901 = ( n^9900 % 9901 * n^m ) % 9901 = n^m % 9901

以此类推，以9900为一个周期，故原问题变为：

n^1 + n^2 + n^3 +...... + n^k mod 9901 =（（n^1 + ... + n^9900）（k/9900）+(n^1 + ... + n^(k% 9900)) ) mod9901

设data[i]为n的前i次方之和模除9901的结果，而

n的前i次方之和 = n的前i-1次方之和 * n + n;

则data[i] = ( n * data[i-1] +data[1] ) % 9901，代码如下：

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Submit Time: 2013-03-2523:38:23

// Problem#: 2501
// Submission#: 1987366
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// URI: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
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#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int n, k;
    int data[ 9901 ];

    cin >> n >> k;
    data[ 1 ] = n % 9901;
    for ( int i = 2; i < 9901 && i <= k; i++ )
        data[ i ] = ( n * data[ i - 1 ] + data[ 1 ] ) % 9901;
    cout << ( data[ 9900 ] * ( k / 9900 ) + data[ k % 9900 ] ) % 9901 << endl;

    return 0;

}