Sicily 1199. GCD Description

原创于 2012-02-05 23:28:14 发布 · 669 阅读

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本文介绍了一种计算在给定范围内与某数互质的数的数量的方法，特别是当这些数与给定数的最大公约数大于等于指定值时。通过筛选符合条件的因数并利用欧拉函数进行计算。

题目的意思是，给出两个数N、M，问有多少个数X，使得gcd（X，N）>= M，其中1<=X<=N。若设gcd（X，N）= Y,显然有gcd（X/Y,N/Y）= 1，此时X/Y和N/Y是互质关系。至此，联系1<=X<=N和Y>=M，问题就转化为有多少个<=N/Y的X/Y和其互质。所求正好符合欧拉函数的特点。

所以，首先需要找出所有符合要求的Y的值，就是N中大于等于M值的因数；然后将所有的N/Y的欧拉函数值相加，就是所求。另外要注意一些特殊情况，N<M,N==M,M=1,M=0
这四种情况，结果分别是0,1,N,N，这些都是易于推敲的。

另：在欧拉函数中，若是使用int类型，应该先除后乘，否则会溢出。

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// Problem#: 1199
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// URI: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
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#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

int Euler( int n );

int main()
{
    int T, N, M;
    int i, r;

    scanf( "%d", &T );
    while ( T-- ) {
        scanf( "%d%d", &N, &M );
        if ( N < M )
            r = 0;
        else if ( N == M )
            r = 1;
        else if ( M == 0 || M == 1 )
            r = N;
        else {
            vector<int> v;
            for ( i = 2; i * i < N; i++ ) {
                if ( N % i == 0 ) {
                    if ( i >= M )
                        v.push_back( i );
                    if ( N / i >= M )
                        v.push_back( N / i );
                }
            }
            if ( i * i == N && i >= M )
                v.push_back( i );

            r = 1;
            for ( i = 0; i < v.size(); i++ )
                r += Euler( N / v[ i ] );
        }
        printf( "%d\n", r );
    }

    return 0;

}


int Euler( int n ) {
    int r = n;

    for ( int i = 2; i * i <= n; i++ ) {
        if ( n % i == 0 ) {
            while ( n % i == 0 )
                n /= i;
            r = r / i * ( i - 1 ) ;
        }
    }
    if ( n != 1 )
        r = r / n * ( n - 1 );

    return r;

}