<think>首先，用户要求查找与CF1454D相关的内容，这应该是Codeforces比赛中的问题或题解。CF1454D指的是Codeforces Round #685 (Div. 2)中的D题。题目名称是"Number into Sequence"，我需要提供这个问题的解决方案。
关键点：
- 用户要求生成相关问题。
- 回答结构清晰，逐步解决问题。
- 使用中文回答。
- 对于数学表达式，使用$...$或$$...$$格式。
- 添加引用标识（但用户没有提供具体引用，所以可能不需要，除非有引用来源）。
- 最后生成相关问题。
### 解决方案概述
问题：给定一个整数n（n > 1），找到一个序列a1, a2, ..., ak，使得：
1. 所有ai > 1。
2. 所有ai的乘积等于n。
3. 序列是严格递减的：a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ ak。
4. k（序列长度）尽可能大。
例如，n=6，可能的序列：[6], [3,2], [2,3]（但必须递减，所以[3,2]或[2,2,1.5]无效）。序列必须严格递减？不，问题说"strictly decreasing"？检查问题描述。
实际Codeforces问题描述：D. Number into Sequence
You are given an integer n (n > 1). You have to construct a sequence of integers a1, a2, ..., ak such that:
- Each ai > 1.
- The product of all ai is equal to n.
- a_{i+1} is divisible by a_i for each i from 1 to k-1.
- k is maximized.
啊，我记错了。不是严格递减，而是序列中每个元素必须被前一个元素整除：a_{i+1} is divisible by a_i。
所以，序列应该是非递减的？因为整除关系，通常是递增或相同，但问题说a_{i+1} divisible by a_i，所以如果a_i | a_{i+1}，那么a_{i+1} >= a_i，所以序列是非递减的。
但问题要求最大化k，所以我们需要尽可能长的序列，其中每个元素整除下一个。
### 解题思路
1. **理解要求**：给定n>1，找到序列a1..ak，ai>1，乘积为n，且a_i | a_{i+1}，k最大。
2. **关键洞察**：序列必须是链式整除关系。最优策略是让序列尽可能长，所以应该使用n的质因数分解。
3. **质因数分解**：将n分解为质因数：n = p1^{e1} * p2^{e2} * ... * pm^{em}。
4. **最大化序列长度**：序列长度k最大可能为所有质因子的指数之和：k_max = e1 + e2 + ... + em。
5. **如何构造序列**：为了满足整除条件，序列应该从一个质因子的高次幂开始，逐步减少指数或改变质因子，但必须确保整除。
- 实际上，序列可以包含多个质因子，但整除关系需要处理。
- 更好的方式：序列应该由一个质因子主导，因为如果改变质因子，整除可能不成立。
- 例如，n=12=2^2*3，可能序列：[2,2,3] 但2|2成立，2|3？3除以2不整除，所以无效。
- 正确构造：序列必须所有元素共享相同的质因子基础。所以，应该选择一个质因子p，其指数e最大，然后序列可以以p开始，逐步减少指数或添加其他因子，但必须确保整除。
标准解法：
- 找到n的质因数分解。
- 找出指数最大的质因子。设p是使e_p最大的质因子。
- 然后，序列的前k-1个元素都是p，最后一个元素是n / p^{k-1}。
- 但需要确保整除：a1=p, a2=p, ..., a_{k-1}=p, ak = n / p^{k-1}。
- 那么，a_{k-1} | ak？因为ak = n / p^{k-1}，而a_{k-1}=p，所以p必须整除ak，即p | (n / p^{k-1})，这成立因为n有至少k个p因子（因为k基于最大指数）。
- 具体步骤：设m是最大指数，即max over primes of e_i。
- 那么k_max = m，因为序列长度不能超过最大指数（因为每个元素至少贡献一个因子）。
- 构造：取那个指数最大的质因子p，序列为：p, p, ..., p（共m-1次），然后最后一个元素是n / p^{m-1}。
- 为什么？因为n / p^{m-1} 至少包含一个p因子（因为指数为m），所以p | (n / p^{m-1})。
- 而且乘积：p^{m-1} * (n / p^{m-1}) = n。
- 序列长度k = m。
- 例如，n=12=2^2*3，最大指数是2（对于p=2），序列：[2, 6] 因为p^{m-1}=2^{1}=2，n/p^{m-1}=12/2=6，且2|6成立。长度k=2。
- 另一个例子，n=36=2^2*3^2，最大指数为2（假设取p=3），序列：[3, 12] 因为3^{1}=3，36/3=12，3|12成立。k=2。但可以更长吗？最大指数是2，所以k_max=2。但36可以有序列[2,2,9]？2|2成立，2|9？9/2=4.5不整除，无效。或[3,3,4]？3|3成立，3|4？不整除。所以确实k_max=2。
- 但n=8=2^3，最大指数3，序列：[2,2,2]？a1=2,a2=2,a3=2，整除：2|2成立。乘积8。k=3。或者按公式：p^{m-1}=2^{2}=4？不对。
- 公式：对于n=p^e，序列应为e个p的副本：p,p,...,p（e次），整除成立因为p|p。
- 在构造中：取m=e，序列：p,p,...,p（e-1次），然后ak=n / p^{e-1} = p^e / p^{e-1} = p。所以序列是p重复e次。一致。
- 另一个例子，n=100=2^2*5^2，最大指数2（p=2或5），取p=5，序列：[5, 20] 因为5^{1}=5，100/5=20，5|20成立。k=2。或[2,50]，2|50成立。k=2。但可以[2,2,25]？2|2成立，2|25？不整除。所以最大k=2。
但问题要求最大化k，所以在n=100时k=2是最大。
然而，如果n有多个质因子，但指数不同。例如，n=48=2^4 * 3^1，最大指数4（p=2），序列：[2,2,2,6]？但需要整除：a1=2|a2=2成立，a2=2|a3=2成立，a3=2|a4=6成立（6/2=3整除）。乘积2*2*2*6=48。k=4。而最大指数是4，所以k_max=4。
按公式：取p=2，m=4，序列前m-1=3个是2，然后ak=48 / 2^{3} = 48/8=6。序列[2,2,2,6]，整除成立。
另一个构造：序列[2,4,6]？2|4成立（4/2=2），4|6？6/4=1.5不整除，无效。
或[3,6,8]？但3|6成立，6|8？不成立。
所以标准解法正确。
### 算法步骤
1. 输入n（n>1）。
2. 分解n的质因数。
3. 找到质因子中指数最大的那个。如果有多个，任选一个。
4. 设m为该质因子p的指数。
5. 输出序列：前m-1个元素为p，最后一个元素为n / p^{m-1}。
6. 序列长度k=m。
为什么k=m是最大？因为每个质因子在序列中最多出现其指数次，而由于整除关系，序列必须由同一个质因子主导，否则整除链会断裂。更正式地，序列中每个元素对应n的一个因子，且整除链意味着序列中所有元素共享相同的质因子，因此k不超过最大指数。
在n=48=2^4*3，序列[2,2,2,6]，6=2*3，所以质因子不同，但整除成立因为2|6。序列中前三个元素是p=2，最后一个是p*q，但p|(p*q)成立。所以共享质因子p。
理论上，k不能超过n的质因子指数之和，但在这个构造中，k等于最大指数，而指数之和可能更大。例如n=12=2^2*3^1，指数和=3，但最大指数=2，k_max=2<3。为什么？因为如果尝试k=3，序列[2,2,3]，但2|2成立，2|3？不成立。或[3,3,4/3]无效。所以确实k_max等于最大指数。
### 实现
在代码中，需要质因数分解。由于n<=10^10（根据Codeforces问题约束），所以需要高效的分解，可以使用试除法到sqrt(n)。
代码结构：
- 读入n。
- 分解质因数，存储质因子和指数。
- 找到指数最大的质因子p和其指数m。
- 输出序列：打印p共m-1次，然后打印n / p^{m-1}。
注意：如果m=1，那么序列只有一个元素：n本身。因为前m-1=0个元素，然后ak=n / p^0 = n/1=n。所以序列[n]。
例如，n=7（质数），m=1，序列[7]。
n=4=2^2，m=2，序列[2,2]（前2-1=1个2，然后ak=4/2=2）。
### 回答结构
1. **问题描述**：简要描述问题。
2. **解题思路**：解释如何解决，包括关键洞察。
3. **算法步骤**：逐步说明。
4. **代码实现**：提供代码（如用户要求）。
5. **例子**：给出示例。
6. **相关问题**：生成相关问题。
使用中文。
数学表达式：例如，质因数分解：$$n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$$。
### 生成相关问题
基于这个问题，生成3-4个相关问题，例如：
1. 如何证明k的最大值等于最大指数？
2. 如果n是质数，序列是什么？
3. 如何优化质因数分解？
4. 类似问题：最小化序列长度或其他变体。
### 引用
用户提到添加引用标识，但这里没有具体引用来源，所以或许不需要，除非我引用Codeforces题解。但用户说“参考站内引用”，但未提供，所以可能忽略。
最终回答。</think>### Codeforces CF1454D 题解：Number into Sequence
#### 问题描述
给定一个整数 $n$（$n > 1$），构造一个整数序列 $a_1, a_2, \dots, a_k$，满足以下条件：
1. 每个元素 $a_i > 1$。
2. 所有元素的乘积等于 $n$：$\prod_{i=1}^k a_i = n$。
3. 序列满足整除链条件：$a_{i} \mid a_{i+1}$（$a_i$ 整除 $a_{i+1}$）对于所有 $1 \leq i \leq k-1$。
4. 序列长度 $k$ 尽可能最大化。
例如：
- 输入 $n = 6$，输出序列可以是 $[2, 3]$ 或 $[3, 6]$，但 $[2, 3]$ 不满足整除链（$2 \nmid 3$），而 $[3, 6]$ 满足（$3 \mid 6$），长度 $k=2$。
- 输入 $n = 8$，输出 $[2, 2, 2]$（$k=3$），因为 $2 \mid 2$ 且乘积为 $8$。
#### 解题思路
要最大化序列长度 $k$，关键是将 $n$ 分解为质因数，并利用质因子的指数构造序列。核心洞察是：
- 序列必须由同一个质因子主导，以确保整除链成立。
- 最大长度 $k$ 等于 $n$ 的质因数分解中最大指数值。
- 构造方法：选择指数最大的质因子 $p$，序列前 $k-1$ 个元素为 $p$，最后一个元素为 $n / p^{k-1}$，这样整除链和乘积条件均满足。
数学上，设 $n$ 的质因数分解为：
$$n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_m^{e_m}$$
其中 $p_i$ 是质因子，$e_i$ 是指数。令 $e_{\max} = \max\{e_1, e_2, \dots, e_m\}$，则最大序列长度 $k = e_{\max}$。
#### 算法步骤
1. **质因数分解**：对 $n$ 进行质因数分解，得到所有质因子 $p_i$ 和指数 $e_i$。
2. **找到最大指数**：确定指数最大的质因子 $p$ 和其指数 $e_{\max}$。如果有多个，任选一个。
3. **构造序列**：
- 序列前 $k-1 = e_{\max} - 1$ 个元素为 $p$。
- 最后一个元素为 $n / p^{e_{\max} - 1}$。
4. **输出序列**：序列长度 $k = e_{\max}$。
**正确性证明**：
- **乘积条件**：$p^{e_{\max} - 1} \times (n / p^{e_{\max} - 1}) = n$。
- **整除链**：前 $k-1$ 个元素相同，$p \mid p$ 成立；最后一个元素满足 $p \mid (n / p^{e_{\max} - 1})$，因为 $n$ 中 $p$ 的指数至少为 $e_{\max}$，所以 $n / p^{e_{\max} - 1}$ 至少包含一个 $p$ 因子。
- **长度最大化**：$k$ 不能超过 $e_{\max}$，因为序列中每个元素对应一个因子，整除链要求序列由同一个质因子主导。
#### 代码实现
使用 Python 实现，时间复杂度 $O(\sqrt{n})$（适合 $n \leq 10^{10}$）。注意处理边界情况（如 $n$ 是质数）。
```python
def factorize(n):
factors = {}
d = 2
while d * d <= n:
while n % d == 0:
factors[d] = factors.get(d, 0) + 1
n //= d
d += 1
if n > 1:
factors[n] = factors.get(n, 0) + 1
return factors
def main():
import sys
data = sys.stdin.read().split()
t = int(data[0])
index = 1
results = []
for _ in range(t):
n = int(data[index])
index += 1
factors = factorize(n)
if not factors:
results.append("1\n" + str(n))
continue
# 找到指数最大的质因子
p_max = None
e_max = 0
for p, e in factors.items():
if e > e_max:
e_max = e
p_max = p
# 构造序列
seq = []
# 前 e_max - 1 个元素为 p_max
for _ in range(e_max - 1):
seq.append(str(p_max))
# 最后一个元素为 n / (p_max)^{e_max - 1}
last = n // (p_max ** (e_max - 1))
seq.append(str(last))
results.append(str(e_max))
results.append(" ".join(seq))
# 按Codeforces格式输出
for i in range(0, len(results), 2):
print(results[i])
print(results[i+1])
if __name__ == "__main__":
main()
```
#### 示例分析
- **输入 $n = 12$**：
- 质因数分解：$12 = 2^2 \times 3^1$，最大指数 $e_{\max} = 2$（对应 $p=2$）。
- 序列构造：前 $2-1=1$ 个元素为 $2$，最后一个元素为 $12 / 2^{1} = 6$。
- 输出序列：$[2, 6]$，长度 $k=2$（满足 $2 \mid 6$）。
- **输入 $n = 48$**：
- 质因数分解：$48 = 2^4 \times 3^1$，最大指数 $e_{\max} = 4$（对应 $p=2$）。
- 序列构造：前 $4-1=3$ 个元素为 $2$，最后一个元素为 $48 / 2^{3} = 6$。
- 输出序列：$[2, 2, 2, 6]$，长度 $k=4$（满足 $2 \mid 2 \mid 2 \mid 6$）。
- **输入 $n = 7$（质数）**：
- 质因数分解：$7 = 7^1$，最大指数 $e_{\max} = 1$。
- 序列构造：前 $1-1=0$ 个元素为空，最后一个元素为 $7 / 7^{0} = 7$。
- 输出序列：$[7]$，长度 $k=1$。
#### 总结
本解法通过质因数分解和贪心构造，确保序列长度最大化，时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，适用于Codeforces约束。
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