时间序列分析.基本数学概念

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本文主要介绍时间序列分析中会用到的一些数学知识。

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1.均值、方差、协方差、相关系数

1.1 期望

1.1.1 期望的定义

令$X$具有概率密度函数$f(x)$,并且令$(X,Y)$对具有联合概率密度函数$f(x,y)$。
定义$X$的期望值为：$E(X)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}xf(x)dx$。

1.1.2 期望的性质

1. $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
2. 当$X$和$Y$相互独立时，$E(XY)=E(X)E(Y)$

1.2 方差

1.2.1 方差的定义

随机变量$X$的方差定义为：D(X)=E{ [X−E(X)]2}D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}D(X)=E{ [X−E(X)]2}，方差通常还记为$Var(X)$、${\mu }^2$。
若$X$是离散型随机变量，则$D(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }[x_k-E(x){]}^2{p}_k$.
若$X$是连续型随机变量，则$D(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }[x-E(x){]}^{2}f(x)dx$

D(X)=E{ [X−E(X)]2D(X)=E\{[X-E(X)]^2D(X)=E{ [X−E(X)]2
=E{ X2−2XE(X)+[E(X)]2}=E\{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2\}=E{ X2−2XE(X)+[E(X)]2}
$=E(X^2)-2E(X)E(X)+[E(x){]}^2$
$=E(X^2)-[E(X){]}^2$

1.2.2 方差的性质

1. $D(aX+b)=a^{2}D(X)$
2. 若$X$与$Y$相互独立，则$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$
3. 若$X$与$Y$不独立，则$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2Cov(X,Y)$

1.3 协方差

1.3.1 协方差的定义

Cov(X,Y)=E{ (X−E(X))(Y−E(Y))}=E(XY)−E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\}=E(XY)-E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E{ (X−E(X))(Y−E(Y))}=E(XY)−E(X)E(Y)

1.3.2 协方差的性质

1. $Cov(a+bX,c+dY)=bdCov(X,Y)$
2. $Cov(X+Y,Z)=$